Première S - Contrôle d'entraînement DS4-1

Suites: variations-suites arithmétiques et géométriques

Contenu

Suites arithmétiques et géométriques (recherche du premier terme et de la raison-somme des termes
Etude d'un placement à intérêts composés
Suites liées par une relation de récurrence
Etude des variations d'une suite avec une fonction

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Livre PDF devoirs corrigés première S(292 pages) et aide mémoire (55 pages)
Exercice 1 (4 points)
  1. Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=2u_n^2+u_n+3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$
    On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
    On peut aussi étudier les variatsions de la fonction associée à la suite $(u_n)$
    Pour tout entier $n$:
    $u_{n+1}-u_n=2u_n^2+u_n+3-u_n=2u_n^2+3$
    $u_n^2\geq 0$ donc $2u_n^2+3\geq 3$>$0$ donc $u_{n+1}-u_n$>$0$

    donc $(u_n)$ est strictement croissante.
  2. $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q $>$ 0$ telle que $u_1=12$ et $u_5=3072$ : calculer $q$ puis $u_7$.
    Exprimer $u_5$ en fonction de $u_1$ puis résoudre l'équation obtenue
    $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q $>$ 0$ donc $u_n=u_0\times q^n=u_1\times q^{n-1}$
    $u_5=u_1\times q^4=3072$
    $\Longleftrightarrow 12\times q^4=3072$
    $ \Longleftrightarrow q^4=\dfrac{3072}{12}=256$
    $\Longleftrightarrow q=4$ ou bien $q=-4$
    or $q$>$0$ donc $q=4$

    $u_7=u_1\times 4^6=12\times 4096=49152$
  3. Calculer $2 + 5 + 8 + \cdots + 299 + 302$.
    Utiliser une suite arithmétique de premier terme $u_0=2$ et de raison $r=2$
    Déterminer la valeur de $n$ telle que $u_n=302$ pour déterminer le nombre de termes de cette somme
    Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0=2$ et de raison $r=3$.
    $u_n=u_0+n\times r=2+3n$

    Recherche de $n$ tel que $u_n=302$
    $u_n=2+3n=302$
    $\Longleftrightarrow 3n=300$
    $\Longleftrightarrow n=100$
    Calcul de la somme $u_0+u_1+......+u_{100}=2+3+8+.....302$
    $u_0+u_1+......+u_{100}=2+3+8+.....302$
    \phantom{$u_0+u_1+......+u_{100}$}$=101\times \dfrac{u_0+u_{100}}{2}$
    \phantom{$u_0+u_1+......+u_{100}$}$=101\times \dfrac{2+302}{2}$
    \phantom{$u_0+u_1+......+u_{100}$}$=15352$
    Remarque
    On peut contrôler le résultat avec le menu RECUR de la calculatrice en saisissant la suite $a_n=2+3n$ (voir fiche méthode calculatrice et suites)
  4. En utilisant une suite est géométrique dont on précisera la raison et le premier terme,
    calculer $1 + 2 +4 + 8+.......+32768$.
    Utiliser une suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et raison $q=2$
    Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et de raison $q=2$.
    $u_n=u_0\times q^n=2^n$

    Recherche de $n$ tel que $u_n=32768$
    $u_n=2^n=32768$
    Avec le menu TABLE de la calculatrice en saisissant la fonction $Y_1=2^x$ puis en paramétrant dans SET le début à 0, la fin du tableau de valeur à 100 par exemple et en prenant pour pas 1 (pour n'avoir que les valeurs de $x$ entières, on obtient $2^{15}=32768$
    donc $u_{15}=32768$
    On peut aussi utiliser le menu RECUR de la calculatrice avec la suite de type $a_n$ en saisissant $a^n=2^n$ .....
    on obtient de même que $a_{15}=32768$.
    Calcul de la somme $u_0+u_1+......+u_{15}=1 + 2 +4 + 8+.......+32768$
    $u_0+u_1+......+u_{15}=1 + 2 +4 + 8+.......+32768$
    \phantom{$u_0+u_1+......+u_{15}$}$=u_0\times \dfrac{1-2^{16}}{1-2}$ La raison est 2 et il y a 15+1=16 termes
    \phantom{$u_0+u_1+......+u_{15}$}$=\dfrac{1-2^{16}}{-1}$
    \phantom{$u_0+u_1+......+u_{15}$}$=2^{16}-1$
    \phantom{$u_0+u_1+......+u_{15}$}$=65535$

    $u_0+u_1+......+u_{15}=1 + 2 +4 + 8+.......+32768=65535$

    Remarque
    Comme pour la question précédente, on peut contrôler le résultat avec le menu RECUR de la calculatrice en saisissant la suite $a_n=2^n$


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Livre PDF devoirs corrigés première S(292 pages) et aide mémoire (55 pages)
Exercice 2 (5 points)
Le 1er janvier 2012,on a placé 5000 euros à intérêts composés au taux annuel de 4%.
(Cela signifie que les intérêts ajoutés au capital chaque nouvelle année sont égaux à 4% du capital de l'année précédente).
Chaque premier janvier, on place 200 euros supplémentaires sur ce compte.
On note $C_0=5000$ le capital disponible au premier janvier de l'année 2012 et $C_n$ le capital disponible au 1er janvier de l'année $2012 + n$ .
  1. Calculer les valeurs exactes de $C_1$ et $C_2$.
    Augmenter une somme de 4% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{4}{100}$
    $C_1=C_0+\dfrac{4}{100}C_0+200=1,04C_0+200=1,04\times 5000+200=5400$
    $C_2=C_1+\dfrac{4}{100}C_1+200=1,04C_1+200=1,04\times 5400+200=5816$

    $C_1=5400$ et $C_2=5816$
  2. Justifier que pour tout entier $n$, $C_{n+1}=1,04C_n+200$.
    Comme pour le calcul de $C_1$ et $C_2$, on a:
    $c_{n+1}$ est le capital disponible l'année suivant l'année d'indice $n$ de capital $c_n$
    $C_{n+1}=C_n+\dfrac{4}{100}C_n+200=C_n+0,04C_n+200=1,04C_n+200$

    $c_n=1,04C_n+200$
  3. Justifier que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
    Une suite $(u_n)$ est arithmétique si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$ .
    Une suite $(u_n)$ est géométrique si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=qu_n$ .
    Ici on a $C_{n+1}=1,04C_n+200$, donc $(C_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
    On peut aussi utiliser les termes $C_0$, $C_1$ et $C_2$, à savoir:
    $C_1-C_0=400$ et $C_2-C_1=416$
    donc $(C_n)$ n'est pas arithmétique.

    $\dfrac{C_1}{C_0}=1,08$ et $\dfrac{C_2}{C_1}\simeq 1,077$

    donc $(C_n)$ n'est pas géométrique.
  4. Pour tout entier $n$, on pose $v_n=C_n+5000$.
    1. Calculer $v_0$ et montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
      Prendre $n=0$ dans $v_n=C_n+5000$.
      Il faut Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $C_{n+1}$ puis de $C_n$ pour trouver une relation de la forme $v_{n+1}=qv_n$
      $v_0=C_0+5000=10000$

      $v_0=10000$

      Pour tout entier naturel $n$, on a:
      $v_{n+1}=C_{n+1}+5000$
      $\phantom{v_{n+1}}=1,04C_n+200+5000$
      $\phantom{v_{n+1}}=1,04C_n+5200$
      $\phantom{v_{n+1}}=1,04(C_n+5000)$
      $\phantom{v_{n+1}}=1,04v_n$
      \res$(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=10000$ et de raison $q=1,04$
    2. En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis de $C_n$ en fonction de $n$
      Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis utiliser la relation $v_n=C_n+5000$ pour exprimer $C_n$ en fonction de $n$
    Pour les questions suivantes, toute démarche sera prise en compte dans l'évaluation.
  5. Calculer le capital disponible à la fin de l'année 2020 arrondie à l'euro près.
    $C_n$ est le capital le premier janvier de l'année $2012+n$.
    donc pour la fin de l'année 2020, il faut prendre
    $2021=2012+9$ donc il faut calculer $C_9$ et enlever les 200 euros versés le premier janvier 2021 pour obtenir la capital disponible fin 2020.
    $C_9= 10000\times 1,04^9-5000\simeq 9233$ (capital au premier janvier 2021)
    $9233-200=9033$

    Le capital disponible à la fin de l'année 2020 est 9033 euros environ (arrondi à l'euro)
  6. Quel nombre minimal d'années devra-t-on attendre pour que le capital disponible dépassera-t-il 10000 euros euros ?
    Il faut résoudre $C_n$>$10000$ On peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice
    On veut $C_n$>$10000$.
    $C_n$>$10000$
    $\Longleftrightarrow 10000\times 1,04^n-5000$>$10000$
    $\Longleftrightarrow 10000\times 1,04^n$>$15000$
    $\Longleftrightarrow 1,04^n$>$\dfrac{15000}{10000}$
    $\Longleftrightarrow 1,04^n$>$1,5$
    Avec le menu TABLE de la calculatrice en saisissant la fonction $Y_1=1,04^x$ puis en paramétrant dans SET le début à 0, la fin du tableau de valeur à 50 par exemple et en prenant pour pas 1 (pour n'avoir que les valeurs de $x$ entières, on obtient $1,04^{10}\simeq 1,48$ et $1,04^{11}\simeq 1,54$
    donc $n\geq 11$.

    Le capital disponible sera supérieur à 10000 euros le premier janvier $2012+11=2023$

    On peut aussi utiliser le menu RECUR de la calculatrice avec la suite de type $a_{n+1}$ en saisissant $a_{n+1}=1,04a_n+200$ puis en paramétrant le début à $n=0$ et la fin à 50 par exemple et $a_0=5000$

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Exercice 3 (6 points)
Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies pour tout entier naturel $n$, par : $ u_{n}=\dfrac{1}{4}(2^{n}+4n-5)$ et $v_{n}=\dfrac{1}{4}(2^{n}-4n+5)$
  1. Calculer $u_0$, $u_1$ puis $v_0$ et $v_1$
    $u_0=\dfrac{1}{4}(2^{0}+4\times 0-5)=\dfrac{-4}{4}=-1$
    $u_1=\dfrac{1}{4}(2^{1}+4\times 1-5)=\dfrac{1}{4}$

    $u_0=-1$ et $u_1=\dfrac{1}{4}$

    $v_0=\dfrac{1}{4}(2^{0}-4\times 0+5)=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$
    $v_1=\dfrac{1}{4}(2^{1}-4\times 1+5)=\dfrac{3}{4}$

    $v_0=\dfrac{3}{2}$ et $v_1=\dfrac{3}{4}$
  2. Montrer que la suite $(a_{n})$ de terme général $a_{n}=u_{n}+v_{n}$ est géométrique de raison 2.
    Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$ et de $v_{n+1}$ puis en fonction de $u_n$ et de $v_n$ pour trouver une relation de la forme $a_{n+1}=qa_n$
    $a_n=u_{n}+v_{n}$
    $=\dfrac{1}{4}(2^{n}+4n-5)+ \dfrac{1}{4}(2^{n}-4n+5)$
    $=\dfrac{1}{4}(2^{n}+4n-5+2^{n}-4n+5)$
    $=\dfrac{1}{4}(2^n+2^n)$
    $=\dfrac{1}{4}(2\times 2^n)$
    $=\dfrac{1}{2} \times 2^n$ (forme explicite $u_n=u_0\times q^n$)
    donc $(a_n)$ est une suite géométrique de premier terme
    $a_0=u_0+v_0=-1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}$ et de raison $q=2$.
    On a donc $a_n=a_0\times q^n=\dfrac{1}{2}\times 2^n=2^{n-1}$

    $a_n=2^{n-1}$
  3. Exprimer la somme $S_{a}(n)=a_{0}+a_{1}+...+a_{n}$ en fonction de $n$
    $S_{a}(n)=a_{0}+a_{1}+...+a_{n}=a_0\times \dfrac{1-2^{n+1}}{1-2}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1-2^{n+1}}{-1}=\dfrac{2^{n+1}-1}{2}$
  4. Montrer que la suite $(b_{n})$ de terme général $b_{n}=u_{n}-v_{n}$ est arithmétique ;
    $b_n=u_{n}-v_{n}$ $=\dfrac{1}{4}(2^{n}+4n-5)- \dfrac{1}{4}(2^{n}-4n+5)$ $=\dfrac{1}{4}(2^{n}+4n-5-2^{n}+4n-5)$ $=\dfrac{1}{4}(8n-10)$ $=2n-\dfrac{5}{2}$ (forme explicite $u_n=u_0+nr$) donc $(b_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $b_0=u_0-v_0=-1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{5}{2}$ et de raison $r=2$.\\ $b_n=2n-\dfrac{5}{2}$
  5. Exprimer la somme $S_{b}(n)=b_{0}+b_{1}+...+b_{n}$ en fonction de $n$.
    $S_{b}(n)=b_{0}+b_{1}+...+b_{n}=(n+1)\times \dfrac{b_0+b_n}{2}=(n+1)\times \dfrac{\dfrac{-5}{2}+2n-\dfrac{5}{2}}{2}=(n+1)\times \dfrac{-5+2n}{2}$
  6. En déduire les sommes $S_{u}(n)=u_{0}+u_{1}+...+u_{n}$ et $S_{v}(n)=v_{0}+v_{1}+...+v_{n}$
    Exprimer cette somme avec les suites $(u_n)$ et $(v_n)$
    $S_{a}(n)=a_{0}+a_{1}+...+a_{n}=u_0+v_0+u_1+v_1+......u_n+v_n$
    $S_{b}(n)=b_{0}+b_{1}+...+b_{n}=u_0-v_0+u_1-v_1+......u_n-v_n$
    En ajoutant membre à membre les deux égalités ci-dessous on a:
    $S_{a}(n)=u_0+v_0+u_1+v_1+......u_n+v_n$
    $S_{b}(n)=u_0-v_0+u_1-v_1+......u_n-v_n$
    $S_{a}(n)+S_{b}(n)=2u_0+2u_1+......2u_n$
    donc $u_0+u_1+......u_n=\dfrac{S_{a}(n)+S_{b}(n)}{2}$
    $u_0+u_1+......+u_n=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}-1}{2}+(n+1)\times \dfrac{-5+2n}{2}}{2}$
    $=\dfrac{2^{n+1}-1+(n+1)\times (-5+2n)}{4}$

    S_{u}(n)=\dfrac{2^{n+1}-1+(n+1)\times (-5+2n)}{4}$


    En soustrayant membre à membre les deux égalités ci-dessous on a:
    $S_{a}(n)=u_0+v_0+u_1+v_1+......u_n+v_n$
    $S_{b}(n)=u_0-v_0+u_1-v_1+......u_n-v_n$
    $S_{a}(n)-S_{b}(n)=2v_0+2v_1+......+2v_n$
    $v_0+v_1+......+v_n=\dfrac{S_{a}(n)-S_{b}(n)}{2}$
    $=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}-1}{2}-(n+1)\times \dfrac{-5+2n}{2}}{2}$
    $=\dfrac{2^{n+1}-1+(n+1)\times (5-2n)}{4}$

    $S_{v}(n)=\dfrac{2^{n+1}-1+(n+1)\times (5-2n)}{4}$

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Livre PDF devoirs corrigés première S(292 pages) et aide mémoire (55 pages)
Exercice 4 (5 points)
La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n =\dfrac{n^2}{2^n}$.
On veut démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang 3.
  1. Calculer $u_n$ pour $n\leq 4$
    $u_0=\dfrac{0^2}{2^0}=\dfrac{1}{1}=1$
    $u_1=\dfrac{1^2}{2^1}=\dfrac{1}{2}$
    $u_2=\dfrac{2^2}{2^2}=\dfrac{4}{4}=1$
    $u_3=\dfrac{3^2}{2^3}=\dfrac{9}{8}$
    $u_4=\dfrac{4^2}{2^4}=\dfrac{16}{16}=1$
  2. Étudier le signe de $f(x)=-x^2+2x+1$ sur $[ 0 ; + \infty [ $ .
    Racines de $f(x)=-x^2+2x+1$
    $\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times (-1)\times 1=8$
    $\Delta$>$0$ donc il y a une deux racines:
    $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{-2}=\dfrac{-2-2\sqrt{2}}{-2}=1+\sqrt{2}$
    et
    $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{-2}=\dfrac{-2+2\sqrt{2}}{-2}=1-\sqrt{2}$ et $x_2\notin [0;+\infty[$

    Signe de $f(x)=-x^2+2x+1$


    donc $f(x)$>$0$ sur $[1+\sqrt{2};+\infty[$

  3. Montrer que pour tout entier naturel n, on a: $u_{n+1} - u_n = \dfrac{-n^2+2n+1}{2^{n+1}}$
    Rappel: $2^{n+1}=2\times 2^n$
  4. En déduire que si $n\geq 3$ alors $u_{n+1}\geq u_n$ puis conclure.
    $u_{n+1} - u_n=\dfrac{-n^2+2n+1}{2^{n+1}}=\dfrac{f(n)}{2^{n+1}}$
    $2^{n+1}$>$0$ donc $u_{n+1} - u_n$ est du signe de $f(n)$.
    D'après la question 2., $f(x)$<$0$ pour $x$>$ 1+\sqrt{2}$
    donc $f(n)$<$0$ pour $n $>$1+\sqrt{2}$ soit pour $n\geq 3$.
    On a donc $u_{n+1} - u_n$<$0$ pour $n\geq 3$ donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante à partir de $n=3$

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