Terminale S - Contrôle d'entraînement DS1-1

Suites: variations, limites

Contenu

- suite arithmético-géométrique (un+1=aun+b)
- suite géométrique associée
- recherche de la forme explicite
- étude des variations et limite
- raisonnement par récurrence
- variations et convergence

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Exercice 1 (7 points)
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0=-2$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+4$
  1. calculer $u_1$ puis $u_2$
  2. Tracer dans le même repère les droites d'équations $y=x$ et $y=\dfrac{1}{3}x+4$ puis représenter graphiquement les cinq premiers termes de la suites $(u_n)$
  3. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $v_n=u_n-6$
    Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
  4. En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$
  5. Démontrer les variations de $(u_n)$ conjecturées à la question 2.
  6. Déterminer la limite de $(u_n)$.
Exercice 2 (6 points)
On considère la suite numérique $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = a$, et pour tout entier $ n$, $u_{n+1} = u_n(1-u_n)$ où $a$ est un réel donné tel que $0 < a < 1$.
  1. Montrer par récurrence que, pour tout entier $n$, $0 < u_n < 1$.
  2. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
  3. La suite $(u_n)$ est-elle convergente?
Exercice 3 (7 points)
Soit $(u_n)$ définie pour $n \in \mathbb{N}$ par , $u_{0} = 1$ et, pour tout $n \geqslant 0$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{10}u_{n}\left(20 - u_{n } \right)$.
  1. Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; 20]$ par $f(x)= \dfrac{1}{10}x(20 - x )$.
    1. Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[0 ; 20]$.
    2. En déduire un encadrement de $f(x)$ pour $x \in [0~;~20]$.
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$.
  3. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est convergente et déterminer sa limite.

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