Second degré

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Forme canonique
Equation
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Livre PDF devoirs corrigés première S(292 pages) et aide mémoire (55 pages)
Exercice 1 (6 points)
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-12x-15$ et on note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
  1. Déterminer la forme canonique de $f$.
    Calculer l'abscisse du sommet $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ de la parabole
    Ici on a $a=3$, $b=-12$ et $c=-15$
    $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{12}{6}=2$
    et $\beta=f(\alpha)=f(2)=3\times 2^2-12\times 2-15=-27$


    $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta=3(x-2)^2-27$
  2. Déterminer les solutions de l'équation $f(x)=0$
    $f(x)=0$
    $\Delta=(-12)^2-4\times 3\times (-15)=324=18^2$
    Il y a deux solutions :
    $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{12-18}{6}=-1$
    et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{12+18}{6}=5$
    $S=\left\lbrace -1;5 \right \rbrace$
  3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $C_f$ et de l'axe des ordonnées.
    L'abscisse du point d'intersection de $C_f$ et de l'axe des ordonnées est 0
    donc son ordonnée est $f(0)=-15$

    Le point d'intersection de $C_f$ et de l'axe des ordonnées a pour coordonnées $(0;-15)$
  4. Dresser le tableau de variation de $f$ puis donner l'allure de $C_f$ en mettant en évidence les résultats des questions précédentes dans le repère donné en annexe ex 1.
    Tableau de variation:
    Le coefficient $a=3$ de $x^2$ est positif donc:
    $C_f$ coupe l'axe des abscisses en $x=-1$ et $x=5$ et l'axe des ordonnée en $y=-15$ et la parabole a pour sommet le point $S$ de coordonnées $(\alpha;\beta)$ soit $(3;-27)$


Exercice 2 (8 points)
Résoudre dans $\mathbb{R}$:
  1. $4x^2-9=0$
    Il n'est pas indispensable de calculer le discriminant pour déterminer les solutions
    Voir aussi fiche méthode(cas particuliers)

    $S=\left\lbrace \dfrac{-3}{2};\dfrac{3}{2} \right \rbrace $
  2. $2x^2-7x=0$
    Il n'est pas indispensable de calculer le discriminant pour déterminer les solutions, on peut factoriser $x$
    Voir aussi fiche méthode(cas particuliers)
    $2x^2-7x=0$
    $\Longleftrightarrow x(2x-7)=0$
    $\Longleftrightarrow x=0$ ou $x=\dfrac{7}{2}$

    $S=\left\lbrace 0; \dfrac{7}{2}\right\rbrace $
  3. $2004x^2+1-2005=0$
    la somme des coefficients $2004+1-2005=0$ donc $x_1=1$ est une solution.
    $x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}\Longleftrightarrow x_2=\dfrac{-2005}{2004}$

    $S=\left\lbrace 1;\dfrac{-2005}{2004} \right\rbrace $
  4. $-\dfrac{3}{4}x^2+2x-5 = 0$
    $\Delta=4-4\times \left ( -\dfrac{3}{4}\right )\times (-5)=4-15=-11$
    $\Delta<0$ donc il n'y a aucune solution

    $S=\oslash$
  5. $\dfrac{3x^2+10x+8}{x+2}=2x+5$
    Penser à chercher l'ensemble de définition $D_f$(valeurs interdites)
    On peut se ramener à une équation du second degré en écrivant $3x^2+10x+8=(x+2)(2x+5)$ pour tout réel $x \in D_f$
Exercice 3 (6 points)
$f$, $g$, $h$ et $k$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)=-\frac{1}{2}x^2+x-1$
$g(x)=\frac{1}{4}x^2-2x-1$
$h(x)=-\frac{1}{3}x^2-2x-1$
$k(x)=\frac{1}{4}x^2+x-1$
Les représentations graphiques de ces quatre fonctions sont données en annexe ex 3.
Pour chacune de ces fonctions, indiquer laquelle des paraboles ci-dessous la représente, en justifiant.
Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)>g(x)$ en justifiant la réponse.
Plusieurs méthodes sont possibles:
  1. Déterminer l'abscisse du sommet et "l'orientation " de la parabole.
  2. Déterminer les coordonnées de un ou plusieurs (un ou deux si plusieurs courbes passent par le premier point) points de la courbe.
  3. Déterminer les coordonnées des points d'intersection avec les axes du repère.

On peut aussi utiliser plusieurs informations différentes parmi ces trois méthodes pour identifier la courbe correspondant à chacune des fonctions.
Pour la première fonction, voici le corrigé avec les trois méthodes différentes évoquées ci-dessus.
  1. Le sommet de la parabole représentant $f$ a pour abscisse $\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-1}{2\times \dfrac{-1}{2}}=1$ et le coefficient $a=\dfrac{-1}{2}$ de $x^2$ est négatif donc la courbe $C_3$ représente la fonction $f$
  2. $f(0)=-1$ et $f(1)=-\frac{1}{2}+1-1=\dfrac{-1}{2}$. la seule courbe passant par les points de coordonnées $(0;-1)$ et $(1;\dfrac{-1}{2})$ est la courbe $C_3$.
  3. $f(0)=-1$ La courbe représentant $f$ coupe l'axe des ordonnées en $(0;-1)$ $\Delta=1-4\times (\dfrac{-1}{2})\times (-1)=-1$ donc la courbe représentant $f$ ne coupe pas l'axe des abscisses, c'est donc la courbe $C_3$.


Le sommet de la parabole représentant $g$ a pour abscisse $\dfrac{2}{2\times \dfrac{1}{4}}=4$ et le coefficient de $x^2$ est $\dfrac{1}{4}$ et est positif donc la courbe $C_1$ représente la fonction $g$

Le sommet de la parabole représentant $h$ a pour abscisse $\dfrac{2}{2\times \dfrac{-1}{3}}=-3$ et le coefficient de $x^2$ est $\dfrac{-1}{3}$ et est négatif donc la courbe $C_2$ représente la fonction $h$

Le sommet de la parabole représentant $k$ a pour abscisse $\dfrac{-1}{2\times \dfrac{1}{4}}=-2$ et le coefficient de $x^2$ est $\dfrac{1}{4}$ et est positif donc la courbe $C_4$ représente la fonction $k$

Graphiquement, les solutions de l'inéquation $f(x)>g(x)$ sont les abscisses des points de $C_3$ situés strictement au-dessus de $C_1$
soit $x\in ]0;4[$

L'ensemble de solution est donc $S= ]0;4[$

Annexe à rendre avec la copie

Annexe ex 1 (question 4)

Annexe ex 3

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