Contrôle d'entraînement DS 7-1

Produit scalaire

Contenu

Utiliser les différentes expressions du produit scalaire
Equation d'une droite perpendiculaire à une autre et équation d'un cercle dans un repère orthonormé
Intersection d'un cercle avec les axes du repère-équation d'une tangente-calcul d'un angle
Recherche d'une ensemble de points

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Exercice 1 (4 points)
Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ dans chacun des 6 cas suivants:

  1. figure 1:
    ABCD est un rectangle donc B est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$
    donc $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=AB\times AB=AB^2=9$

    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=AB^2=9$
  2. figure 2:
    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=AB\times AC \times cos(\widehat{ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}} )=3\times 2 \times cos(\pi)=-6$

    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=-6$
  3. figure 3:
    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=AB\times AC \times cos(\widehat{ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}} )=3\times 2 \times cos(\dfrac{\pi}{3})=6\times \dfrac{1}{2}=3$

    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=3$
  4. figure 4:
    .
    $ \overrightarrow{AB}(-3;-2)$ et $ \overrightarrow{AC}(1;-2)$
    donc $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=-3\times 1+(-2)\times (-2)=1$

    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=1$
  5. figure 5:
    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-|| \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}||^2}{2}=\dfrac{AB^2+AC^2-CB^2}{2}=\dfrac{4^2+6^2-3^2}{2}=21,5$

    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=21,5$

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Exercice 2 (4 points)

$ABCD$ est un rectangle, $I$ est un point de $[DC]$ défini comme l'indique la figure ci-dessous.

  1. Calculer $ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}$
    Calculer $AI$ et $BI$ dans les triangles $ADI$ et $BCI$
    Dans le triangle $AID$ rectangle en $D$, on a $AI^2=AD^2+DI^2=9+1=10$

    Dans $BIC$ rectangle en $C$, on a $BI^2=BC^2+CI^2=9+9=18$

    Dans le triangle $ABI$, on a:
    $ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}=\dfrac{AI^2+BI^2-BC^2}{2}=\dfrac{10+18-16}{2}=6$

    $ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}=6$
  2. En déduire que $cos(\widehat{AIB})=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ puis déterminer la valeur arrondie à 0,1 degré près de $\widehat{AIB}$.
    $ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}=IA\times IB\times cos(\widehat{AIB})$

    $\phantom{ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}}=\sqrt{10}\times \sqrt{18}\times cos(\widehat{AIB})$

    $\phantom{ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}}=\sqrt{10}\times 3\sqrt{2}cos(\widehat{AIB})$

    $\phantom{ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}}=3\sqrt{20} cos(\widehat{AIB})$

    $\phantom{ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}}=6\sqrt{5} cos(\widehat{AIB})$
    On a alors:
    $6\sqrt{5} cos(\widehat{AIB})=6 \Longleftrightarrow cos(\widehat{AIB})=\dfrac{6}{6\sqrt{5}}\Longleftrightarrow cos(\widehat{AIB})=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
    donc $cos(\widehat{AIB})=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

    $cos(\widehat{AIB})=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

    et donc $\widehat{AIB}=cos^{-1}\left( \dfrac{\sqrt{5}}{5} \right)\approx 63,4^0$

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Exercice 3 (7 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
  1. Montrer que l'ensemble des points $M(x;y)$ dont les coordonnées vérifient l'équation
    $x^2+y^2+2x-6y+5=0$ est un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre $I$ et le rayon.
    $x^2+2x=(x+1)^2-1$ et $y^2-6y=(y-3)^2-9$
    $x^2+y^2+2x-6y+5=0\Longleftrightarrow (x+1)^2-1+(y-3)^2-9+5=0 \Longleftrightarrow (x-(-1))^2+(y-3)^2=5$

    donc cette équation définit un cercle de centre $I(-1;3)$ et de rayon $\sqrt{5}$
  2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection du cercle $\mathcal{C}$ et des axes de coordonnées du repère.
    On notera $A$ et $B$ les points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de l'axe $(Oy)$, $A$ étant celui avec la plus petite ordonnée.
    $A$ appartient à l'axe des abscisses donc $y_A=0$
    $A$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ si $x_A^2+y_A^2+2x_A-6y_A+5=0$
    $M(x;y)$ appartient à l'axe des ordonnées si $x=0$
    et $M\in \mathcal{C}$

    $ \Longleftrightarrow (0-(-1))^2+(y-3)^2=5$

    $ \Longleftrightarrow (y-3)^2=4$

    $\Longleftrightarrow y-3=2$ ou $y-3=-2$

    $\Longleftrightarrow y=5$ ou $y=1$

    donc $\mathcal{C}$ coupe l'axe des ordonnées en $A(0;1)$ et $B(0;5)$


    Intersection avec l'axe des abscisses:
    $M(x;y)$ appartient à l'axe des abscisses si $y=0$
    et $M\in \mathcal{C}$
    $ \Longleftrightarrow (x-(-1))^2+(0-3)^2=5$
    $ \Longleftrightarrow (x+1)^2=-4$
    Cette équation n'admet pas de solution car $(x+1)^2>0$

    donc $\mathcal{C}$ ne coupe pas l'axe des abscisses.
  3. Déterminer une équation cartésienne de la tangente $T$ au cercle $\mathcal{C}$ en $A$.
  4. Donner une valeur approchée à $0,1^0$ de l'angle $\widehat{IAB}$ dans le triangle $IAB$.
    Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB}$ dans le triamgle $AIB$ en utilisant les longueurs des côtés du triangle puis en utilisant $AI\times AB\times cos(\widehat{IAB})$
    Dans le triangle $IAB$, on a:
    $ \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB}=\dfrac{AI^2+AB^2-|| \overrightarrow{AI}- \overrightarrow{AB}||^2}{2}=\dfrac{AI^2+AB^2-BI^2}{2}$
    Calcul de $AB$: $AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2=16$
    et $AI^2=BI^2=5$ (rayon du cercle)
    donc $ \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB}=\dfrac{5+16-5}{2}=8$

    Remarque
    On peut aussi calculer $ \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB}$ en utilisant les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AB}(0;4)$ et $ \overrightarrow{AI}(-1;2)$.
    $ \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB}= x_{ \overrightarrow{AI}}x_{ \overrightarrow{AB}}+ y_{ \overrightarrow{AI}}y_{ \overrightarrow{AB}}= 0\times (-1)+4\times 2=8$

    $ \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB}=AI\times AB\times cos (\widehat{ \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AB}})$

    $\phantom{ \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB}}=\sqrt{5}\times \sqrt{16}cos (\widehat{IAB})$

    $\phantom{ \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{AB}}=4\sqrt{5}cos (\widehat{IAB})$
    On a donc:
    $4\sqrt{5}cos (\widehat{IAB})=8$
    donc $cos(\widehat{IAB})=\dfrac{8}{4\sqrt{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
    donc $\widehat{IAB}=cos^{-1}(\dfrac{2}{\sqrt{5}})\simeq 26,6^0$

    $\widehat{IAB}\simeq 26,6^0$

    Figure:

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Exercice 4 (5 points)
  1. Soient deux points $A$ et $B$ avec $AB=6$, et soit $I$ le milieu de $[AB]$.
    Déterminer l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M$ du plan tels que : $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=16$
    1. Montrer que $M \in \mathcal{C} \Longleftrightarrow MI^2=25$.
      (on pourra décomposer $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ en introduisant le point $I$).
      $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=16$

      $\Longleftrightarrow ( \overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{IA}).( \overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{IB})=16$

      $\Longleftrightarrow \overrightarrow{MI}. \overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{MI}. \overrightarrow{IB}+ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}=16$

      $\Longleftrightarrow MI^2+ \overrightarrow{MI}.( \overrightarrow{IA}+ \overrightarrow{IB})+IA\times IB\times cos (\widehat{ \overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB}})=16$
      or $\widehat{ \overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB}}=\pi$ radians
      donc $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=16$ et $ \overrightarrow{IA}+ \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{IA}+ \overrightarrow{AI}= \overrightarrow{0}$

      $\Longleftrightarrow MI^2+0+IA^2 cos(\pi)=16$

      $\Longleftrightarrow MI^2-\left( \dfrac{AB}{2}\right)^2=16$ (rappel:$cos(\pi)=cos(-\pi)=-1$)

      $\Longleftrightarrow MI^2-9=16$

      $\Longleftrightarrow MI^2=25$

      $ MI^2=25$
    2. Déterminer alors précisément l'ensemble $\mathcal{C}$.
      $MI^2=25 \Longleftrightarrow MI=5$ car $MI\geq 0$
      donc $M$ appartient au cercle de centre I et rayon 5.
      L'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M$ du plan tels que : $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=16$ est donc cercle de centre I et rayon 5.

      L'ensemble $\mathcal{C}$ est donc cercle de centre I et rayon 5.
  2. On donne $A(-1;2)$, $B(2;-2)$ et $C(-2;-1)$ dans un repère orthonormé.
    En utilisant les coordonnées des vecteurs, déterminer précisément l'ensemble $E$ des points $M$ du plan tels que : $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=3$

 
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