Contrôle d'entraînement DS7-1

Probabilités et variable aléatoire

Contenu

- loi de probabilité d'une variable aléatoire
- calcul de probabilités et notations des événements A et B et A ou B
- calcul de l'espérance et interprétation
- variation de l'espérance en appliquant un pourcentage
- Exercice BAC ES 209 adapté: tableau à double entrée, loi de probabilité et espérance

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Exercice 1 (9 points)
On a effectué une étude sur les ventes dans un grand magasin vendant des lots de 4 chaises et des tables.
Chaque client achète au maximum un lot de 4 chaises et la table.
On notera les événements:
"T": le client a acheté une table.
"C": Le client a acheté un lot de 4 chaises.
On a ainsi obtenu les résultats suivants:
  1. Que signifie la notation $T\cap \overline{C}$?
    $\overline{C}$ signifie que le client n'achète pas le lot de chaises.

    donc $T\cap \overline{C}$ signifie que le client achète une table mais pas le lot de chaises.
  2. Calculer $p$.
    La somme des probabilités du tableau doit être égale à 1.
    $p(\overline{T}\cap \overline{C})+p(T\cap \overline{C})+p(\overline{T}\cap C)+p(T\cap C)=1$
    donc $p=1-0,2+0,3+0,35=1-0,85=0,15$

    $p=p(C\cap T)=0,15$
  3. Que signifie la notation $C\cup T$?
    Calculer $p(C\cup T)$.
    On veut aussi calculer la probabilité que le client achète soit le lot de chaises, soit la table, soit le lot de chaises et la table.
    $C\cup T$ signifie que le client achète le lot de chaises ou bien la table.
    $C\cup T$ est donc le contraire de l'événement $\overline{T}\cap \overline{C}$.
    Deux calculs sont donc possibles:
    $p(C\cup T)=p(T\cap \overline{C})+p(\overline{T}\cap C)+p(T\cap C)=0,3+0,35+0,15=0,8$
    ou bien $p(C\cup T)=1-p(\overline{T}\cap \overline{C})=1-0,2=0,8$

    La probabilité que le client achète une table ou bien le lot de chaises est $p(C\cup T)=0,8$.
  4. Le lot de 4 chaises est vendu 220 euros et la table 170 euros.
    On note $X$ la variable aléatoire donnant la dépense d'un client entrant dans le magasin.
    Compléter le tableau de la loi de probabilité de $X$.
    Identifier les différentes valeurs prises par $X$ selon les achats des clients.
  5. Le magasin est ouvert exceptionnellement un dimanche de décembre et la fréquentation augmente alors de 20% car le magasin a affiché une remise de 15% sur l'ensemble de ses articles.
    Quelle recette peut espérer faire le magasin avec l'ouverture de ce dimanche?
    Il faut calculer le nombre de clients de ce dimanche et la dépense moyenne par client.
    Le nombre de clients augmente de 20% donc est multiplié par $1+\dfrac{20}{100}=1,2$.
    Il y aura donc $140\times 1,2 =168$ clients.
    La dépense moyenne par client diminue de 15% avec la remise et est donc multipliée
    par $1-\dfrac{15}{100}=0,85$.
    On a donc une dépense moyenne de $E(X)\times 0,85=186,5\times 0,85=158,525$ euros par client.
    On a donc pour 168 clients: $158,525\times 168=26632,20$.

    Le magasin peut espérer une recette moyenne de 26632,2 euros.
Exercice 2 (11 points)
D'après BAC ES Nouvelle-Calédonie 2009.
Un club de natation propose à ses adhérents trois types d'activité : la compétition, le loisir ou l'aquagym. Chaque adhérent ne peut pratiquer qu'une seule des trois activités.
30% des adhérents au club pratiquent la natation en loisir, 20% des adhérents au club pratiquent l'aquagym et le reste des adhérents pratiquent la natation en compétition.
Cette année, le club propose une journée de rencontre entre tous ses adhérents. 20% des adhérents de la la section loisir et un quart des adhérents de la section aquagym participent à cette rencontre. 30% des adhérents de la section compétition ne participent pas à cette rencontre.
On interroge au hasard une personne adhérente à ce club. On considère les évènements suivants :
- A: " La personne interrogée pratique l'aquagym"
- C: " La personne interrogée pratique la natation en compétition"
- L: " La personne interrogée pratique la natation en loisir "
- R: " La personne interrogée participe à la rencontre " et $\overline{\text{R}}$ son événement contraire.
  1. Compléter le tableau à double entrée ci-dessous correspondant aux différentes situations possibles pour un total de 100 adhérents.
    Compléter d'abord la dernière ligne (total) du tableau avec les données de l'énoncé.
    30% des adhérents au club pratiquent la natation en loisir donc $p(L)=\dfrac{30}{100}$
    et 20% des adhérents au club pratiquent l'aquagym donc $p(A)=\dfrac{20}{100}$
    et le reste des adhérents pratiquent la natation en compétition soit $p(C)=1-p(A)-p(L)=\dfrac{50}{100}$
  2. Calculer la probabilité que la personne interrogée pratique la natation en compétition et qu'elle participe à la rencontre.
    On veut calculer $p(C\cap R)$
    Il y a 35 adhérents pratiquant la natation en compétition qui participent à la rencontre sur 100

    La probabilité qu'elle pratique la natation en compétition et participe à la rencontre est $p(C\cap R)=\dfrac{35}{100}=0,35$.
  3. On interroge une personne au hasard lors de la rencontre. Calculer la probabilité qu'elle soit dans la section compétition.
    Donner une valeur approchée du résultat arrondie à $10^{-2}$ près.
    On choisit une personne au hasard parmi les 46 participant à la rencontre.
    35 adhérents pratiquent la compétition parmi les 46 participants à la rencontre
    donc la probabilité demandée est $\dfrac{35}{46}\approx 0,76$

    La probabilité qu'elle soit dans la section compétition sachant qu'elle participe à la rencontre est 0,76 environ.

    Remarque
    Cette probabilité est une probabilité conditionnelle (programme de terminale) et se note $p_R(C)\approx 0,76$.
  4. Les tarifs du club pour l'année sont les suivants : l'adhésion à la section compétition est de 100 euros et l'adhésion à la section loisir ou à l'aquagym est de 60 euros. De plus, une somme de 15 euros est demandée aux adhérents qui participent à la rencontre.
    On appelle $S$ la somme annuelle payée par un adhérent de ce club (adhésion et participation éventuelle à la rencontre).
    Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $S$.
    Il faut calculer la dépense de l'adhérent dans chaque cas.

    Penser à vérifier que la somme des probabilités est 1.
  5. Calculer l'espérance mathématique de $S$ et interpréter ce nombre.


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