Terminale S - Contrôle d'entraînement DS 10-1

Calculs de base avec les lois uniforme, normale et exponentielle

Contenu

- loi exponentielle et calcul du paramètre
- calculs de probabilités conditionnelles avec la loi exponentielle
- loi de probabilité uniforme
- loi normale et loi normale centrée réduite
- estimation et intervalle de confiance

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Exercice 1 (8 points)
Une grande entreprise dispose d'une chaîne de production automatisée. On observe le temps de fonctionnement normal séparant deux pannes sur la chaîne de production. Ce temps sera appelé "temps de fonctionnement".
Soit $X$ la variable aléatoire égale au temps de fonctionnement, exprimé en heures.
On admet que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Le paramètre $\lambda$ est un réel strictement positif.
On rappelle que, pour tout réel $t \geq 0$ ,$p(X \leq t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda e^{- \lambda x}dx$.
  1. On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 heures est égale à $0,6$.
    Montrer qu'une valeur approchée de $\lambda$ à $10^{-3}$ près est $0,131$.
    On a $p(X\leq 7)=0,6$ et que $p(X\leq t)=1-e^{-\lambda t}$
    $p(X\leq 7)=1-e^{-7\lambda}=0,6$
    $1-e^{-7\lambda}=0,6 \Longleftrightarrow e^{-7\lambda}=0,4$
    $\phantom{1-e^{-7\lambda}=0,6}\Longleftrightarrow -7\lambda=ln(0,4)$
    $\phantom{1-e^{-7\lambda}=0,6}\Longleftrightarrow \lambda=\dfrac{ln(0,4)}{-7}$

    donc $\lambda=\dfrac{ln(0,4)}{-7}\approx 0,131$

    Remarque
    ne pas utiliser d'équivalence avec une valeur arrondie
    On ne peut écrire $\lambda=\dfrac{ln(0,4)}{-7} \Longleftrightarrow \lambda \approx 0,131$
  2. Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près.
  3. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 5 heures.
    On veut calculer $p(X\geq 5)$
    $p(X\geq 5)=e^{-5\lambda}\approx e^{-5\times 0,131} \approx 0,52$

    donc la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 5 heures est $p(X\geq 5) \approx 0,52$
  4. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu'il n'y a pas eu de panne au cours des quatre premières heures.
    On veut calculer $p_{X\geq 4}(X\geq 9)$
    Il n'y a pas eu de panne au cours des quatre premières heures donc on sait que $X\geq 4$.
    On veut calculer la probabilité que $X$ soit supérieur à 9 sachant que $X$ est supérieur à 4 soit $p_{X\geq 4}(X\geq 9)$
    $p_{X\geq 4}(X\geq 9)= p_{X\geq 4}(X\geq 4+5)$
    $\phantom{p_{X\geq 4}(X\geq 9)}=p(X\geq 5)$ ( On prend ici $t=4$ et $h=5$ dans la propriété du cours)
    $\phantom{p_{X\geq 4}(X\geq 9)} =e^{-5\lambda}$
    $\phantom{p_{X\geq 4}(X\geq 9)} \approx 0,52$

    La probabilité que le temps soit supérieur à 9h sachant qu'il a été supérieur à 4h est $p_{X\geq 4}(X\geq 9) \approx 0,52$
  5. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures.
    On peut décomposer avec $p(X\leq 6)$ et $p(X\leq 10)$
    $p(6\leq X\leq 10)=p(X\leq 10)-p(X <6)$
    $\phantom{p(6\leq X\leq 10)}=p(X\leq 10)-p(X \leq 6)$
    $\phantom{p(6\leq X\leq 10)}=1-e^{-10\lambda}-\left(1-e^{-6\lambda}\right)$
    $\phantom{p(6\leq X\leq 10)}=-e^{-10\lambda}+e^{-6\lambda}$
    $\phantom{p(6\leq X\leq 10)}\approx 0,1858$

    donc la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10h est $p(6\leq X\leq 10)\approx 0,19$
  6. On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu'on suppose indépendants.
    Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspondant à des temps de fonctionnement supérieurs ou égaux à 5 heures.
    1. Quelle est la loi suivie par $Y$ ?
      Déterminer l'épreuve de Bernouilli répétée.
      Justifier l'indépendance des épreuves de Bernouilli répétées puis conclure.
      On considère l'expérience aléatoire consistant relever le temps de fonctionnement avec les issues $S$ "le temps de fonctionnement est supérieur ou égal à 5h" et $\overline{S}$ "le temps de fonctionnement est strictement inférieur à 5h"
      On a donc $p(S)=p(X\leq 5)\approx 0,52$ et $p(\overline{S})=1-p(S)\approx 0,48$
      Chaque relevé est indépendant des autres donc la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$ donnant le nombre de relevés avec un temps de fonctionnement supérieur ou égal à 5h suit la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=p(X < 5)\approx 0,52$

      $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p\approx 0,52$
    2. Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5 heures.
      On veut calculer $p(Y=3)$
      $p(Y=3)=\begin{pmatrix} 8\\ 3 \end{pmatrix} p(S)^3 p(\overline{S})^5$
      $\phantom{p(Y=3)}\approx 56\times 0,52^3\times 0,48^5$
      $\phantom{p(Y=3)}\approx 0,20$

      La probabilité que trois relevés correspondent à des temps de fonctionnement supérieurs à 5 h est $p(Y=3)\approx 0,2$
    3. Calculer l'espérance mathématique de Y (on arrondira à l'entier le plus proche) et interpréter le résultat obtenu.
      $E(Y)=np$ avec $n=8$ et $p\approx 0,52$ donc $E(Y)\approx 4,16$

      L'espérance de la variable aléatoire $Y$ est $E(Y)\approx 4$

      En moyenne, parmi les 8 relevés, quatre d'entre eux seront des relevés avec des temps supérieurs à 5 h de fonctionnement.
Exercice 2(5 points)
Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.
Paul se connecte sur le site. La durée $D$ (en seconde) qu'il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $[20;120]$.
  1. Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de $60$ secondes (c'est à dire après 60s maximum).
  2. L'équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée $J$ (en minutes) d'une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}(120;400)$.
    La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$ et on donne $p(-1,5\leq Z \leq 3)\approx 0,93$.
    En déduire la probabilité que la partie dure entre $90$ et $180$ minutes.
    On pose $Z=\dfrac{J-120}{20}$
    La variable aléatoire $J$ suit la loi normale $\mathcal{N}(120;400)$
    donc son espérance est $\mu=120$ et $\sigma=\sqrt{400}=20$
    On pose $Z=\dfrac{J-\mu}{\sigma}=\dfrac{J-120}{20}$ et $Z$ suit donc la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$.
    $90\leq J\leq 180 \Longleftrightarrow \dfrac{90-120}{20}\leq \dfrac{J-120}{20}\leq \dfrac{180-120}{20} \Longleftrightarrow -1,5\leq Z \leq 3$
    donc $p(90\leq J \leq 120)=p(-1,5\leq Z\leq 3)\approx 0,93$

    La probabilité que la partie dure entre 90mn et 180mn est $p(90\leq J \leq 120)\approx 0,93$

    Remarque
    Avec la calculatrice et Ncd (casio) ou NormalCdf ou NormalFrep (TI), on peut calculer directement $p(90\leq J\leq 180)$
Exercice 3 (7 points)
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A :
Chaque jour, Antoine s'entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[20;60]$.
  1. Calculer la probabilité $p$ pour que l'entrainement dure plus de $30$ minutes.
    $p(X\geq 30)=p(30\leq X \leq 60)=\dfrac{60-30}{60-20}=\dfrac{30}{40}=0,75$

    La probabilité que l'entrainement dure plus de $30$ minutes est $p(X\geq 30)=0,75$
  2. Calculer l'espérance de $X$. Interpréter ce résultat.
    $E(X)=\dfrac{60-20}{2}=20$

    L'espérance de la variable aléatoire $X$ est $E(X)=20$ minutes.

    Cela signifie que chaque entraînement dure en moyenne 20 minutes.

Partie B :
Dans cette partie les probabilités seront, si besoin, arrondies au millième.
Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s'entraine sont dites de premier choix si leur diamètre est compris entre $56,75$ mm et $57,25$ mm ; sinon elles sont dites de second choix.
On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de l'entreprise, associe son diamètre, en millimètres.
On suppose que $D$ suit la loi normale d'espérance $57$ et d'écart-type $0,11$.
  1. Déterminer la probabilité $p_{1}$ que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57 mm.
    On a ici $\mu=57$ et on sait que $p(X\leq \mu)=p(X\geq \mu)$
    $p(X\leq 57)=p(X\leq \mu)=0,5$

    La probabilité que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57 mm est $p_{1}=0,5$ .
  2. Déterminer la probabilité $p_{2}$ que la boule prélevée soit une boule de premier choix.
    On utilise Ncd(Casio) ou NormalCdf ou NormalFrep (TI) (voir fiche méthode calculatrice Casio ou TI)
    On utilise Ncd(Casio) ou NormalCdf ou NormalFrep (TI) (voir fiche méthode calculatrice Casio ou TI) en saisissant BorneInf=$56,75$ par exemple et BorneSup=57,25 puis $\mu=57$ et $\sigma=0,11$.
    $p(56,75\leq D \leq 57,25)\approx 0,977$

    La probabilité que la boule prélevée soit une boule de premier choix est $p_{2}\approx 0,977$ .
  3. En déduire la probabilité $p_{3}$ que la boule prélevée soit une boule de second choix.
    L'événement "la boule prélevée soit une boule de second choix" est le contraire de l'événement "la boule prélevée soit une boule de premier choix".
    $p_3=p(D < 56,75)+p(D > 57,25)=1-p_2\approx 0,023$

    La probabilité que la boule prélevée soit une boule de second choix est $p_{3}\approx 0,023$.

Partie C :
Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses 14000 licenciés quant à l'organisation des tournois.
Antoine estime que les $80$ adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club : les 80 adhérents ont répondu, et $66$ ont déclaré qu'ils étaient satisfaits.
  1. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion $p$ de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l'intervalle seront données avec la précision du millième.
    On a ici $n=80$ et $f=\dfrac{66}{80}=0,825$
    $f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,825-\dfrac{1}{\sqrt{80}}\approx 0,713$ (valeur approchée par défaut)
    et $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,825+\dfrac{1}{\sqrt{80}}\approx 0,937$ (valeur approchée par excès)

    donc l'intervalle de confiance au seuil de 95% est $I_C=[0,713;0,937]$.
  2. En déduire une estimation du nombre d'adhérents satisfaits au sein de la FFB au seuil de confiance de 95%.
    On a donc une estimation de la proportion d'adhérents satisfaits et il sont 14000 au total-
    $0,713\times 14000=9982$ et $0,937\times 14000=13118$

    On peut donc estimer qu'il y a entre 9982 et 13118 adhérents satisfaits avec un risque d'erreur inférieur à 5%.

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