Terminale ES - Contrôle d'entraînement DS3-1

Fonction exponentielle : dérivées et variations

Contenu

Calculs de dérivées avec exponentielle et exponentielle(u)
Lectures graphiques
Calcul d'une dérivée (f(x)=(ax+b)ex
Identification des coefficients de f
Etude des variations et de la convexité

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Exercice 1 (8 points)
Calculer le dérivée de chacune des fonctions ci-dessous, définies et dérivables sur $\mathbb{R}$.
  1. $f(x)=-3e^{5-3x}$
    On pose $u(x)=5-3x$ et on a $f(x)=-3e^{u(x)}$
    On pose $u(x)=5-3x$ et on a alors $u'(x)=-3$
    $f~'(x)=-3\times u'(x)e^{u(x)}=-3\times (-3)e^{5-3x}=9e^{5-3x}$

    $f~'(x)=9e^{5-3x}$
  2. $g(x)=x^2e^{x}$
    On pose $u(x)=x^2$ et $v(x)=e^x$
    On pose $u(x)=x^2 $ et $v(x)= e^x $
    et on a $u'(x)=2x $ et $v'(x)= e^x $
    $g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=( 2x )( e^x )+( x^2 ) ( e^x )=e^x(2x+x^2)$

    $g'(x)=e^x(2x+x^2) $
  3. $h(x)=(2x-4)e^{-x}$
    On pose $u(x)=2x-4 $ et $v(x)= e^{-x} $ et on a $h(x)=u(x)v(x)$
    On pose $u(x)=2x-4 $ et $v(x)= e^{-x} $
    et on a $u'(x)=2 $ et $v'(x)= -e^{-x} $
    $h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=( 2 )( e^{-x} )+( 2x-4 ) ( - e^{-x} )=e^{-x}[2-(2x-4)]=e^{-x}(-2x+6)$

    $h'(x)=e^{-x}(-2x+6)$
  4. $i(x)=\dfrac{e^{2x}}{x^2+1}$
    On pose $u(x)= e^{2x} $ et $v(x)=x^2+1 $
    On pose $u(x)= e^{2x} $ et $v(x)=x^2+1 $
    et on a $u'(x)= 2e^{2x} $ et $v'(x)= 2x $
    $i'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

    $\phantom{i'(x)}=\dfrac{( 2e^{2x} )( x^2+1 )-( e^{2x} ) ( 2x )}{( x^2+1 )^2}$

    $\phantom{i'(x)}=\dfrac{e^{2x} (2(x^2+1)-2x) }{( -2x+6 )^2}$

    $\phantom{i'(x)}=\dfrac{e^{2x} ( 2x^2+2-2x )}{( x^2+1 )^2}$

    $i'(x)=\dfrac{e^{2x} ( 2x^2-2x+2 )}{( x^2+1 )^2}$
Exercice 2 (12 points)
La courbe $\mathcal{C}$ est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
La tangente T à la courbe au point A(0;3) passe par le point B(1;5).
  1. Déterminer graphiquement $f(0)$ puis $f~'(0)$
    Il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0
    $A(0;3) $ appartient à la courbe donc $f(0)=3$
    $f~'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point A
    donc $f~'(0)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{2}{1}=2$

    $f(0)=3$ et $f~'(0)=2$
  2. Donner une équation de la tangente T.
    L'équation réduite d'une droite est de la forme $y=mx+p$ avec $m$ coefficient directeur et $p$ ordonnée à l'origine (ordonnée du point d'intersection de la droite et de l'axe des ordonnées)
    T a pour coefficient directeur $f~'(0)=2$ donc admet une équation réduite de la forme $y=2x+p$
    et coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 3 donc $p=3$

    donc T a pour équation réduite $y=2x+3$
  3. $f(x)=1+\dfrac{ax+b}{e^x}$ avec $a$ et $b$ réels.
    1. Déterminer l'expression de $f~'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
      On pose $u(x)=ax+b $ et $v(x)=e^x $
      On pose $u(x)=ax+b $ et $v(x)=e^x $
      et on a $u'(x)= a $ et $v'(x)= e^x $

      $f~'(x)=0+\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

      $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{( a )( e^x )-( ax+b ) (e^x )}{( e^x )^2}$

      $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{ e^x ( a- ax-b ) }{( e^x )^2}$

      $f~'(x)=\dfrac{ e^x ( a- ax-b ) }{( e^x )^2}=\dfrac{-ax+a-b}{e^x}$
    2. A l'aide des résultats de la question 1, déterminer les réels $a$ et $b$
      exprimer $f~'(0)$ en fonction de $a$ et $b$ et on a $f~'(0)=2$
      Exprimer $f(0)$ en fonction de $a$ et $b$ et on a aussi $f(0)=3$
      $f(0)=1+\dfrac{a\times 0 +b}{e^0}=1+b=3$ donc $b=2$ (rappel: $e^0=1$)
      $f~'(0)=\dfrac{ - a\times 0+a-b ) }{e^0 }=a-b=2$ donc $a=2+b=4$

      $a=4$ et $b=2$
  4. On donne $f(x)=1+\dfrac{4x+2}{e^x}$
    1. Etudier les variations de $f$
      Déterminer $f~'(x)$ en utilisant la question 3.a et sachant que $a=4$ et $b=2$
      Pour tout réel $x$, on a $e^x>0$ donc $f~'(x)$ est du signe de $-4x+2$
      D'après la question 3.a., on a $f~'(x)=\dfrac{ e^x ( a- ax-b ) }{( e^x )^2}$
      et on a $a=4$ et $b=2$
      donc $f~'(x)=\dfrac{ - 4x+4-2 }{ e^x }=\dfrac{-4x+2}{e^x}$

      Pour tout réel $x$, $e^x>0$
      donc $f~'(x)$ est du signe de $-4x+2$
      $-4x+2>0 \Longleftrightarrow -4x>-2 \Longleftrightarrow x<\dfrac{1}{2}$

      donc $f$ est croissante sur $]-\infty;\dfrac{1}{2}[$ et décroissante sur $]\dfrac{1}{2};+\infty[$
    2. Etudier la convexité de $f$
      On pose $u_1(x)=-4x+2 $ et $v(x)= e^x $
      Calcul de $f~''(x)$
      On a $f~'(x)=\dfrac{-4x+2}{e^x}$
      On pose $u_1(x)=-4x+2 $ et $v_1(x)= e^x $
      et on a $u_1'(x)=-4 $ et $v'_1(x)= e^x $

      $f~''(x)=\dfrac{u_1'(x)v_1(x)-u_1(x)v_1'(x)}{(v_1(x))^2}$

      $\phantom{f~''(x)}=\dfrac{( -4 )(e^x )-(-4x+2)(e^x)}{(e^x)^2}$

      $\phantom{f~''(x)}=\dfrac{e^x( -4 +4x-2)}{(e^x)^2}$

      $\phantom{f~''(x)}=\dfrac{ 4x-6}{e^x}$
      Pour tout réel $x$, $e^x>0$ donc $f~''(x)$ est du signe de $4x-6$
      $4x-6> 0 \Longleftrightarrow 4x>6 \Longleftrightarrow x>\dfrac{3}{2}$
      donc $f~''(x)>0$ sur $]\dfrac{3}{2};+\infty[$


      $f$ est convexe sur $]\dfrac{3}{2};+\infty[$ et concave sur $]-\infty;\dfrac{3}{2}[$

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