Terminale ES - Contrôle d'entraînement DS3-1

Fonction exponentielle : dérivées et variations

Contenu

Calculs de dérivées avec exponentielle et exponentielle(u)
Lectures graphiques
Calcul d'une dérivée (f(x)=(ax+b)ex
Identification des coefficients de f
Etude des variations et de la convexité

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Exercice 1 (8 points)
Calculer le dérivée de chacune des fonctions ci-dessous, définies et dérivables sur $\mathbb{R}$.
  1. $f(x)=-3e^{5-3x}$
  2. $g(x)=x^2e^{x}$
  3. $h(x)=(2x-4)e^{-x}$
  4. $i(x)=\dfrac{e^{2x}}{x^2+1}$
Exercice 2 (12 points)
La courbe $\mathcal{C}$ est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
La tangente T à la courbe au point A(0;3) passe par le point B(1;5).
  1. Déterminer graphiquement $f(0)$ puis $f~'(0)$
  2. Donner une équation de la tangente T.
  3. $f(x)=1+\dfrac{ax+b}{e^x}$ avec $a$ et $b$ réels.
    1. Déterminer l'expression de $f~'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
    2. A l'aide des résultats de la question 1, déterminer les réels $a$ et $b$
  4. On donne $f(x)=1+\dfrac{4x+2}{e^x}$
    1. Etudier les variations de $f$
    2. Etudier la convexité de $f$

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