Terminale S - Contrôle d'entraînement DS 3-1

Calculs de dérivée-étude de fonctions-théorème des valeurs intermédiaires

Contenu

- calculs de dérivée avec les fonctions composées
- lectures graphiques et détermination de l'expression de f
- recherche des solutions d'une équation de degré 3 et théorème des valeurs intermédiaires
- dérivabilité d'une fonction en un point

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Exercice 1 (6 points)
Dans chaque cas, calculer la dérivée de $f$ définie et dérivable sur $D_f$.
Penser à contrôler avec la calculatrice.
  1. $f(x)=(2x^3+2x^2)^{5}$ sur $D_f=\mathbb{R}$.
    On peut poser $u(x)=2x^3+2x^2$ et on a $f(x)=(u(x))^5$
    On pose $u(x)=2x^3+2x^2$ et on a $f(x)=(u(x))^5$
    $u'(x)=6x^2+4x$
    $f'(x)=5u'(x)(u(x))^4=5(6x^2+4x)(2x^3+2x^2)^4=(30x^2+20x)(2x^3+2x^2)^4$

    $f'(x)=(30x^2+20x)(2x^3+2x^2)^4$

    Contrôler le résultat avec la calculatrice en utilisant le MENU TABLE avec Y1=$f(x)$ et Y2=$f'(x)$ et on doit avoir des valeurs identiques dans Y'1 et dans Y2 (option DERIVAIVE sur ON (Shift MENU))
  2. $f(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)^3}$ sur $D_f=\mathbb{R}$
    On peut poser $v(x)=(x^2+1)^3$ et on a $f(x)=\dfrac{1}{v(x)}$
    On pose $v(x)=(x^2+1)^3$ et on a $f(x)=\dfrac{1}{v(x)}$
    $v'(x)=3\times (x^2+1)'\times ((x^2+1)^2=6x(x^2+1)^2$
    $f'(x)=\dfrac{-v'(x)}{(v(x))^2}=\dfrac{6x(x^2+1)^2}{\left((x^2+1)^3\right)^2}$
    $\phantom{f'(x)=\dfrac{-v'(x)}{(v(x))^2}}=\dfrac{6x(x^2+1)^2}{(x^2+1)^6}$
    $\phantom{f'(x)=\dfrac{-v'(x)}{(v(x))^2}}=\dfrac{6x}{(x^2+1)^4}$

    $f'(x)=\dfrac{6x}{(x^2+1)^4}$

    Contrôler le résultat avec la calculatrice en utilisant le MENU TABLE avec Y1=$f(x)$ et Y2=$f'(x)$ et on doit avoir des valeurs identiques dans Y'1 et dans Y2 (option DERIVAIVE sur ON (Shift MENU))
  3. $f(x)=\sqrt{2x^2+1}$ avec $D_f=\mathbb{R}$
    On peut poser $u(x)=2x^2+1$ et on a $f(x)=\sqrt{u(x)}$
    On pose $u(x)=2x^2+1$ et on a $f(x)=\sqrt{u(x)}$.
    $u'(x)=4x$
    $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\dfrac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}}=\dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}$

    $f'(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}$
  4. $f(x)=2xcos(3x)$ avec $D_f=\mathbb{R}$
    On peut poser $u(x)=x$ et $v(x)=cos(3x)$
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=cos(3x)$ et on a $f(x)u(x)v(x)$.
    $u'(x)=1$ et $v'(x)=-3sin(3x)$
    $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $\phantom{f'(x)}= cos(3x)+x(-3sin(3x)$
    $\phantom{f'(x)}= cos(3x)-3xsin(3x)$

    $f'(x)=cos(3x)-3xsin(x)$
Exercice 2 (4 points)
On donne ci-dessous la représentation graphique $C_f$ de la fonction $f$ définie sur $[1;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x^2+ax+b}$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
La droite $T$ est la tangente à la courbe au point $A$ avec $A(1;1)$.

  1. Déterminer $f(1)$ et $f'(1)$ à l'aide du graphique.
    Il faut déterminer le coefficient directeur de la droite $T$
    $A(1;1)$ appartient à $C_f$ donc $f(1)=1$.
    $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à $C_f$ au point $A$ d'abscisse 1
    donc $f'(1)=\dfrac{5}{2}$ (on peut aussi utiliser le point $B(3;6)$ de $T$)

    $f(1)=1$ et $f'(1)=\dfrac{5}{2}$
  2. $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$, exprimer $f'(x)$ en fonction $a$ et $b$.
    On pose $u(x)=x^2+ax+b$
    On pose $u(x)=x^2+ax+b$ et on a $u'(x)=2x+a$.
    $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\dfrac{2x+a}{2\sqrt{x^2+ax+b}}$

    $f'(x)=\dfrac{2x+a}{2\sqrt{x^2+ax+b}}$
  3. En déduire les valeurs de $a$ et de $b$.
    Il faut écrire deux équations d'inconnues $a$ et $b$ en utilisant les résultats du 1
Exercice 3 (5 points)
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+2x+5$.
  1. Etudier les variations de $f$.
    Il faut étudier le signe de $f'(x)$
    $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (fonction polynôme de degré 3)
    $f'(x)=3x^2+2$
    $3x^2\geq 0$ donc $f'(x)>0$

    donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
  2. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ et en donner un encadrement d'amplitude 0,01.
    On peut utiliser le sens de variation de $f$ et les images de 0 et $-2$ par $f$.
    Pour encadrer la solution, on peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice.
    $f(0)=5$ et $f(-2)=(-2)^3+2\times (-2)+5=-8-4+5=-7$
    $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (fonction polynôme de degré 3) et 0 est compris entre $f(-2)$ et $f(0)$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur $\mathbb{R}$.
    De plus $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$

    donc l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.

    Avec le MENU TABLE de la calculatrice(voir fiche méthode calculatrice de ce chapitre), on a $f(-1,33)\approx -0,012$ et $f(-1,32)\approx 0,06$

    donc $-1,33 < \alpha < -1,32$
Exercice 4 (5 points)
$f$ est définie sur $[3;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x^2(x-3)}$.
  1. Etudier la dérivabilité de $f$ en $3$.
    Rappel de première: il faut étudier la limite du taux d'accroissement de $f$ entre $3$ et $3+h$ avec $h>0$
  2. Etudier les variations de $f$ sur $[3;+\infty[$.
    On pose $u(x)=x^2(x-3)=x^3-3x^2$
    On pose $u(x)=x^2(x-3)=x^3-3x^2$ dérivable sur $[3;+\infty[$ (fonction polynôme de degré 3) et on a $f(x)=\sqrt{u(x)}$.
    La fonction racine carrée est dérivable sur $]0;+\infty[$ donc $f$ est dérivable pour tout réel $x\in[3;+\infty[$ tel que $u(x)>0$.
    donc $f$ est dérivable sur $]3;+\infty[$ (rappel question 1 $f$ n'est pas dérivable en $x=3$).
    $u'(x)=3x^2-6x$
    $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\dfrac{3x^2-6x}{2\sqrt{x^2(x-3)}}=\dfrac{3x(x-2)}{2\sqrt{x^2(x-3)}}$
    $\sqrt{x^2(x-3)}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $3x(x-2)$.
    $x>3$ donc $x-2>0$ et $x(x-2)>0$
    donc $f'(x)>0$

    donc $f$ est strictement croissante.


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