Lectures graphiques-calculs de dérivées

Contenu

lectures graphiques
équation réduite d'une tangente
calculs de dérivées

Infos sur le devoir

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF

  • Autres devoirs
  • Fiches méthodes
  • questions
Exercice 1 (7 points)
Dans un repère orthogonal, on donne ci-dessous la courbe représentative $C_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et les tangentes à $C_f$, $T_A$, $T_B$ et $T_C$ respectivement aux points $A$ d'abscisse $-2$, $B$ d'abscisse $-3$ et $C$ d'abscisse $-1$.
  1. Par lecture graphique, déterminer
    1. $f(-3)$
      Le point de la courbe d'abscisse $-3$ a pour ordonnée $f(-3)$
      Le point $B$ a pour ordonnée $-2$

      $f(-3)=-2$
    2. $f'(-2)$ et $f'(-3)$ en justifiant la réponse.
      Il faut déterminer graphiquement le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $-3$
      Le coefficient directeur d'une droite passant par $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ est $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
      $f'(-2)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_A$ à la courbe au point $A$ d'abscisse $-2$.
      $T_A$ est parallèle à l'axe des ordonnées donc a pour coefficient directeur $0$

      $f'(-2)=0$


      $f'(-3)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_B$ à la courbe au point $B$ d'abscisse $-3$.
      On a $B(-3;-2)$ et le point $B'(-2;7)$ appartient à $T_A$
      donc $f'(-3)=\dfrac{y_{B'}-y_B}{x_{B'}-x_B}=\dfrac{7-(-2)}{-2-(-3)}=9$

      donc $f'(-3)=9$

      Il y a deux carreaux pour une unité sur l'axe des abscisses!

      Remarque
      On peut aussi lire directement le coefficient directeur sur le graphique:

      $f'(-3)=\dfrac{\text{variations des ordonnées}}{\text{variations des abscisses}}=\dfrac{9}{1}=9$
    3. $f'(-1)$ (sans justifier).
      Avec le graphique, on a:

      $f'(-1)=\dfrac{3}{-1}=-3$

      $f(-1)=-3$
    4. La tangente $T_E$ à la courbe $C_f$ au point $E$ d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ a pour équation réduite $y=\dfrac{15x-12}{4}$.
      Placer $E$ et tracer $T_E$.
      Que vaut $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$?
      Il faut déterminer les coordonnées de deux points de $T_E$ pour la tracer en prenant par exemple $x=0$ et le point de contact entre la tangente et la courbe.
      Le point $E$ est le point de la courbe d'abscisse $0,5$ et d'ordonnée $-1$ (voir graphique).
      Si on prend $x=0$, on a $y=\dfrac{0-12}{4}=-3$

      $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$ est le coefficient directeur de $T_E$

      donc $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{15}{4}$
    5. Quel est le signe de $f'(-2,5)$?
      Il faut déterminer le sens de variation de $f$ en $x=-2,5$
      $f$ est strictement croissante sur $]-3,5;-2]$ par exemple

      donc $f'(-2,5)>0$
  2. $f(x)=x^3+3x^2-2$
    1. Calculer $f'(x)$.
      Il faut dériver $x^3$ et $x^2$
      La dérivée d'une fonction constante est 0
      $f'(x)=3x^2+3\times 2x+0=3x^2+6x$

      $f'(x)=3x^2+6x$

      Remarque
      Une erreur courante est "d'oublier" que la dérivée d'une fonction constante $x \longmapsto a$ ($A$ réel quelconque) est nulle en écrivant par exemple que $f'(x)=3x^2+6x-2$...
    2. Retrouver la valeur de $f'(-2)$ et de $f'(-3)$ par le calcul.
      Il faut remplacer successivement $x$ par $-2$ puis $-3$ dans l'expression de $f'(x)$
      $f'(x)=3x^2+6x$
      $f'(-2)=3\times (-2)^2+6\times (-2)=12-12=0$
      $f'(-3)=3\times (-3)^2+6\times (-3)=27-18=9$

      On retrouve les résultats obtenus par lecture graphique soit $f'(-2)=0$ et $f'(-3)=9$.
    3. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T_D$ à la courbe au point $D$ d'abscisse $1$ puis la tracer dans le repère ci-dessus.
      Il faut calculer $f'(1)$ puis $f(1)$
      La tangente $T_D$ a pour coefficient directeur $f'(1)$ et passe par le point $D(1;f(1))$
Exercice 2 (4 points)
Question de cours
La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.
  1. Pour tout réel $h\neq 0$, exprimer le taux d'accroissement de $f$ entre $3$ et $3+h$ en fonction de $h$.
    aux identités remarquables pour développer $(3+h)^2$
    $f(3)=3^2=9$
    et $f(3+h)=(3+h)^2=9+6h+h^2$
    $T_h=\dfrac{f(3+h)-f(3)}{3+h-3}$
    $\phantom{T_h}=\dfrac{9+6h+h^2-9}{h}$
    $\phantom{T_h}=\dfrac{6h+h^2}{h}$
    $\phantom{T_h}=\dfrac{h(6+h)}{h}$
    $\phantom{T_h}=6+h$

    $T_h=6+h$
  2. En utilisant le taux d'accroissement, montrer que $f$ est dérivable en $x=3$ et donner la valeur de $f'(3)$.
    Il faut chercher la limite de $T_h$ quand $h\longrightarrow 0$
    Lorsque $h \longrightarrow 0$ on a $T_h \longrightarrow 6$

    donc $f$ est dérivable en $x=3$ et $f'(3)=6$

    Remarque
    On retrouve ce résultat avec $f'(x)=2x$ et donc $f'(3)=2\times 3=6$
Exercice 3 (9 points)
  1. Compléter le tableau:
    (voir cours ou aide mémoire)
  2. Dans chaque cas, $f$ est définie et dérivable sur $D_f$, calculer $f'(x)$.
    1. $f(x)=2x^3-3x^2+5x-1$ et $D_f=\mathbb{R}$
      on dérive $x^3$ puis x^2$....
      $f'(x)=2\times 3x^2-3\times 2x+5-0=6x^2-6x+5$

      $f(x)=6x^2-6x+5$

      Remarque
      Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice (voir exercice précédent)
    2. $f(x)=3x^2-\dfrac{2}{x}$ et $D_f=\mathbb{R}^*$
      On peut écrire $f(x)=3x^2-2\times \dfrac{1}{x}$
      $f'(x)=6x-2\times \dfrac{-1}{x^2}=6x+\dfrac{2}{x^2}$

      $f'(x)=6x+\dfrac{2}{x^2}$
    3. $f(x)=\dfrac{-2}{x^2+1}$ et $D_f=\mathbb{R}$
      On peut écrire $f(x)-2\times \dfrac{1}{x^2+1}$
      on pose $v(x)=x^2+1$
      On pose $v(x)=x^2+1$ et $v'(x)=2x$
      $f'(x)=-2\times \dfrac{-v'(x)}{(v(x))^2}$
      $\phantom{f'(x)}=-2\times \dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}$
      $\phantom{f'(x)}= \dfrac{4x}{(x^2+1)^2}$

      $f'(x)=\dfrac{4x}{(x^2+1)^2}$
    4. $f(x)=\dfrac{2x^2+5x-1}{3-x}$ et $D_f=\mathbb{R}\setminus \lbrace 3 \rbrace$
      On pose $u(x)=2x^2+5x-1$ et $v(x)=3-x$

Haut de page