Première S - Contrôle d'entraînement DS3-1

Calculs de dérivées

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Calculs de dérivées: dérivées usuelles et formules de dérivation
Lectures graphiques
Etude des variations d'une fonction polynôme

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Exercice 1 (5,5 points)
Voici la courbe représentative $C_f$ d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

D'après le graphique:
  1. Donner la valeur de $f'(-4)$ en justifiant
    puis $f'(-5)$, $f'(-2)$ et $f'(4)$ (sans justifier).
    $f'(-4)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $-4$ et cette tangente est parallèle à l'axe des abscisses donc $f'(-4)=0$.

    $f'(-5)=\dfrac{2}{1,5}=\dfrac{4}{3}$ tracé en vert (coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $-5$)
    $f'(-2)=\dfrac{-3}{0,5}=-6$ tracé en rouge (coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $-2$)
    $f'(4)=\dfrac{-1,5}{2}=-\dfrac{3}{4}$ tracé en bleu (coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $4$)


  2. Déterminer une équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $-2$.
    La tangente à la courbe au point d'abscisse $-2$ a pour coefficient directeur $f'(-2)$ et passe par le point de coordonnées $(-2;f(-2))$
    La tangente au point d'abscisse $-2$ a pour coefficient directeur $f'(-2)=-6$ et passe par le point $A(-2;0,5)$ (point de contact avec la courbe).
    donc cette tangente a pour équation réduite:
    $y=-6x+b$
    et $y_A=-6x_A+b \Longleftrightarrow 0,5=-6\times (-2)+b \Longleftrightarrow b=-11,5$

    $y=-6x-11,5$
  3. On sait que $f'(7)=-\dfrac{1}{3}$ ; tracer $T_{7}$, tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $7$.
    Le coefficient directeur de $T_{7}$ est égal à $f'(7)$ et passe par le point de la courbe d'abscisse 7.
    Cela signifie que pour $\Delta_y=\dfrac{-1}{3}\Delta_x$ (une variation de $-1$ suivant l'axe des ordonnées correspond à une variation de 3 suivant l'axe des abscisses)
    Tracé en orange sur la figure:
  4. Résoudre graphiquement $f'(x)>0$.
    $f'(x)>0$ si $f$ est croissante
    $f'(x)>0$ si $f$ est strictement croissante donc $f'(x)>0$ pour $x\in ]-\infty;-4[\cup ]-1;2[$.


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Exercice 2 (3 points)

Question de cours:La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$
Démontrer que $f'(x)=2x$ en utilisant le taux d'accroissement.
Calculer $T_{h}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ pour tout réel $a$ et $h\neq 0$
Chercher ensuite la limite quand $h\longrightarrow 0$ de $T_{h}$
Taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$:
Pour tout réel $a$ et tout réel $h\neq 0$, on a:
$T_a(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}$
$~~~~~=\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}$
$~~~~~=\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}$
$~~~~~=\dfrac{2ah+h^2}{h}$
$~~~~~=\dfrac{h(2a+h)}{h}$
$~~~~~=2a+h$
Quand $h\longrightarrow 0$, $T_a(h)\longrightarrow 2a$
avec la notation de la limite en $0$, $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} T_a(h)=2a$
donc $f$ est dérivable en $a$ pour tout réel a

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=2x$ (ou $f'(a)=2a$)

Exercice 3 (11,5 points)

  1. La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{2x^3}{3}+x^2-12x+4$
    Calculer $f'(x)$.
    Pour dériver $\frac{2x^3}{3}$, il est inutile d'utiliser la dérivée d'un quotient car $\frac{2x^3}{3}=\dfrac{2}{3}\times x^3$
    $f'(x)=\frac{2}{3}\times 3x^2+ 2x-12+0=2x^2+2x-12$

    $f'(x)=2x^2+2x-12$
  2. Etudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$.
  3. Donner l'équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.
    La tangente a pour coefficient directeur $f'(1)$ et passe par le point de coordonnées $(1;f(1))$.
    $f'(1)=2\times 1^2+2\times 1-12=-8$
    et $f(1)=\frac{2}{3}+1-12+4=\dfrac{2}{3}-7=\dfrac{-19}{3}$
    donc l'équation réduite de cette tangente est:
    $y=f'(1)(x-1)+f(1)=-8(x-1)-\dfrac{19}{3}=-8x+8-\dfrac{19}{3}=-8x+\dfrac{5}{3}$
    $y=-8x+\dfrac{5}{3}$

    Remarque: On peut aussi écrire que l'équation réduite est de la forme $y=ax+b$ avec $a=f'(1)$ et on détermine $b$ en utilisant le point $A(1;f(1))$: $y_A=ax_A+b$....

    On peut aussi utiliser le critère de colinéarité:
    $M(x;y)$ appartient à la tangente passant par $A(1;f(1))$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1;f'(1))$
    $\Longleftrightarrow \vec{AM}$ et $\vec{u}$ colinéaires....
  4. La fonction $g$ est définie par $g(x)=2x^2\sqrt{x}$
    Déterminer l'ensemble de définition $D_g$ de $g$.
    Il faut $x\geq 0$ donc $D_g=[0;+\infty[$
  5. Justifier que $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
    $x\longmapsto x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $]0;+\infty[$
    $x \longmapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $]0;+\infty[$
    donc $g$, produit de ces deux fonctions est dérivable sur $]0;+\infty [$
  6. Calculer $g'(x)$ sur $]0;+\infty[$.
    $g(x)$ est le produit de $u(x)=2x^2$ et de $v(x)=\sqrt{x}$
    On pose $u(x)=2x^2$ et $v(x)=\sqrt{x}$
    et on a $u'(x)=4x$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    $g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $~~~~=4x\sqrt{x}+2x^2\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    $~~~~~~=\dfrac{4x\sqrt{x}\times \sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}$
    $~~~~~~=\dfrac{4x^2+x^2}{\sqrt{x}}$
    $~~~~~~=\dfrac{5x^2}{\sqrt{x}}$

    $g'(x)=\dfrac{5x^2}{\sqrt{x}}$
  7. La fonction $h$ est définie sur $D_h=\mathbb{R}\setminus \left\lbrace 2 \right \rbrace $ par $h(x)=\dfrac{6-2x}{3x-6}$.
    Justifier que $h$ est dérivable sur $D_h$.
    $h$ est le quotient de deux fonctions dérivables et le dénominateur est différent de 0 sur $D_{h}$
    $x \longmapsto 6-2x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $D_h$
    et $x \longmapsto 3x-6$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $D_h$ et $3x-6\neq 0$ sur $D_h$
    donc $h$, le quotient de ces deux fonctions est dérivable sur $D_h$

    $h$ est dérivable sur $D_{h}$
  8. Calculer $h'(x)$
    Poser $u(x)= 6-2x $ et $v(x)=3x-6$
    On pose $u(x)= 6-2x $ et $v(x)=3x-6 $ et on a $u'(x)= -2 $ et $v'(x)= 3 $
    $h'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
    $~~~~=\dfrac{ -2 \times ( 3x-6 )-( 6-2x )\times 3}{( 3x-6 )^2}$
    $~~~~=\dfrac{-6x+12-18+6x}{( 3x-6 )^2}$
    $~~~~=\dfrac{-6}{( 3x-6 )^2}$
  9. En déduire le tableau de variation de $h$
    Etudier le signe de $h'(x)$
    Le déominateur de $h'(x)$ est strictement positif donc $h'(x)$ est du signe du numérateur

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