Terminale ES - Contrôle d'entraînement DS2-1

Dérivation et variation d'une fonction

Contenu

Calcul de dérivées
Lectures graphiques
Variations et signe d'une fonction polynôme de degré 3

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Exercice 1 (8 points)
Calculer la dérivée des fonctions ci-dessous définies et dérivables sur I:
  1. $f(x)=2x^3-3x+2$ et $I=\mathbb{R}$
    $f~'(x)=2\times 3x^2-3+0=6x^2-3$

    $f~'(x)=6x^2-3$
  2. $g(x)=\dfrac{-2}{x^3}$ et $I=\mathbb{R}^*$
    On peut écrire $f(x)=-2\times \dfrac{1}{x^3}$
    On peut éventuellement poser $u(x)=-2$ et $v(x)=x^3$ mais ce n'est pas indispensable en écrivant $f$ comme indiqué ci-dessus
    $g(x)=-2\times \dfrac{1}{x^3}=-2\times \dfrac{-3}{x^4}=\dfrac{6}{x^4}$

    $g(x)=\dfrac{6}{x^4}$
  3. $h(x)=\dfrac{1}{3x^2+1}$ et $I=\mathbb{R}$
    Poser $v(x)=3x^2+1$
    On pose $v(x)=3x^2+1$ et on a $v'(x)=6x$
    $f~'(x)=\dfrac{-v'(x)}{(v(x))^2}=\dfrac{-6x}{(3x^2+1)^2}$

    $f~'(x)=\dfrac{-6x}{(3x^2+1)^2}$


    Remarque
    On peut éventuellement utiliser la formule du quotient avec $u(x)=1$, $v(x)=3x^2+1$ et on a alors $u'(x)=0$ et $v'(x)=6x$
    $h'(x)=\dfrac{0(3x^2+1)-1\times (6x)}{(3x^2+1)^2}=\dfrac{-6x}{(3x^2+1)^2}$
  4. $i(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$ et $I=\mathbb{R}\setminus \left\lbrace -1\right\rbrace $
    Poser $u(x)=x-1 $ et $v(x)= x+1 $
    On pose $u(x)=x-1 $ et $v(x)= x+1 $
    et on a $u'(x)=1 $ et $v'(x)= 1 $
    $f~'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}=\dfrac{1\times ( x+1 )-( x-1 ) \times 1}{( x+1 )^2}=\dfrac{2}{(x+1)^2}$

    $f~'(x)=\dfrac{2}{(x+1)^2}$
  5. $j(x)=\dfrac{x^2+2x}{3}-\dfrac{2}{x}$ et $I=\mathbb{R}^*$
Exercice 2 (4 points)
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 6]$.
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ est représentée ci-contre.
Soit A le point du plan de coordonnées $(-1; 0)$ et B le point du plan de coordonnées (1 ; 5).
Le maximum de la fonction $f$ est atteint en $x=\dfrac{4}{3}$.
Le point B appartient à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
La droite (AB) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point B.
  1. Par lecture graphique, déterminer $f(1)$ puis $f~'(1)$, où $f~'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 6] en justifiant la réponse.
    $f~'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1
    Le point $B(1;5)$ appartient à la courbe donc $f(1)=5$
    $f~'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente (AB) à la courbe au point d'abscisse 1
    donc $f~'(1)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{5}{2}=2,5$

    $f~'(1)=2,5$
  2. Déterminer $f~'\left(\dfrac{4}{3} \right) $ en précisant quelle donnée de l'énoncé permet de répondre
    Le maximum de la fonction $f$ est atteint en $x=\dfrac{4}{3}$ donc la dérivée $f~'(x)$ s'annule et change de signe en $x=\dfrac{4}{3}$ (la tangente à la courbe au point d'abscisse $\dfrac{4}{3}$ est parallèle à l'axe des abscisses)

    donc $f~'\left(\dfrac{4}{3} \right) =0$
  3. Dresser le tableau de signe de $f~'(x)$ sur [0 ; 6].
    Si $f$ est croissante, $f~'(x)>0$
    on a donc le tableau suivant:
  4. L'une des trois courbes $\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$, et $\mathcal{C}_{3}$ représentées sur les figures 1, 2 et 3 ci-dessous représente la fonction $f~'$. Laquelle ? Justifier votre réponse.
    Lorsque $f$ est croissante $f~'(x)\geq 0$
    Sur $\left[ 0;\dfrac{4}{3}\right[$ on a $f~'(x)>0$ donc la courbe représentant $f~'$ est au-dessus de l'axe des abscisses
    et sur $\left]\dfrac{4}{3};6\right]$ on a $f~'(x)<0$ donc la courbe représentant $f~'$ est en-dessous de l'axe des abscisses
    donc la courbe représentant la fonction $f~'$ est la courbe numéro 1 ou la courbe numéro 2
    On a de plus $f~'(1)=2,5$ et la courbe numéro 1 passe par le point de coordonnées (1;2,5) (ce qui n'est pas le cas de la numéro 2)

    donc la courbe numéro 1 représente la fonction $f~'$.
Exercice 3 (6 points)
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^3-2x^2+2x-3$
  1. Calculer $f~'(x)$ et étudier les variations de $f$.
    $f~'(x)=9x^2-4x+2$
    Etude du signe de $f~'(x)$:

    Recherche des racines du polynôme $9x^2-4x+2$
    $\Delta=b^2-4ac=16-4\times 9\times 2=-58$
    $\Delta <0$ donc il n'y a pas de racine

    Signe de $9x^2-4x+2$
    Le polynôme est donc de signe constant et est du signe de $a=9$ coefficient de $x^2$ donc $f~'(x)>0$
    On a alors le tableau de variation suivant:
  2. Déterminer une racine du polynôme appartenant à $\mathbb{N}$ (on pourra éventuellement s'aider de la calculatrice)
    $f(1)=3-2+2-3=0$ donc $x=1$ est une racine du polynôme $f(x)$
    Remarque: On peut s'aider de la calculatrice pour trouver une racine de $f(x)$ (menu EQUA puis POl puis deg 3...)
  3. En déduire le signe de $f(x)$ (on pourra présenter le résultat sous forme d'un tableau de signes)

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