Terminale S - Contrôle d'entraînement DS7-1

calculs avec les complexes, équations et affixes

Contenu

- calculs avec les complexes
- forme trigonométrique et exponentielle
- équations avec les complexes
- affixe d'un vecteur, argument d'un quotient et nature d'un quadrilatère

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Exercice 1 (4 points)
Donner la forme algébrique de chacun des complexes ci-dessous:
  1. $(2-3i)^2$
    On peut utiliser les identités remarquables avec $a=2$ et $b=3i$ et on a alors $(a-b)^2$
    $(2-3i)^2=2^2-2\times 2\times 3i+(3i)^2=4-12i-9=-5-12i$

    $(2-3i)^2=-5-12i$

    penser à contrôler le calcul avec la calculatrice
  2. $\dfrac{2+i}{1-3i}$
    Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $1-3i$ soit $1+3i$
    $\dfrac{2+i}{1-3i}= \dfrac{(2+i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)}$
    $\phantom{\dfrac{2+i}{1-3i}}= \dfrac{2+6i+i+3i^2}{1^2+3^2}$
    $\phantom{\dfrac{2+i}{1-3i}}= \dfrac{2+7i-3}{10}$
    $\phantom{\dfrac{2+i}{1-3i}}= \dfrac{-1+7i}{10}$

    $\dfrac{2+i}{1-3i}= \dfrac{-1+7i}{10}=\dfrac{-1}{10}+i\dfrac{7}{10}$

    penser à contrôler le calcul avec la calculatrice
  3. $2e^{i\frac{\pi}{6}}$
    $2e^{i\frac{\pi}{6}}=3\left(cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$
    $\phantom{2e^{i\frac{\pi}{6}}}=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right)$
    $\phantom{2e^{i\frac{\pi}{6}}}=\sqrt{3}+i$

    $2e^{i\frac{\pi}{6}}=\sqrt{3}+i$
Exercice 2 (4 points)
Ecrire les complexes ci-dessous sous forme exponentielle.
  1. $-5+5i$
    Il faut calculer $|-5+5i|$ puis résoudre le systèmes d'équation formé avec $cos(\theta)$ et $sin(\theta)$ si $\theta=arg(-5+5i)$ ($2\pi$)
    $|-5+5i|=\sqrt{(-5)^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$
    Si on pose $\theta=arg(-5+5i)$ ($2\pi$), on a alors:
    $cos(\theta)=\dfrac{Re(-5+5i)}{|-5+5i|}=\dfrac{-5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$
    et $sin(\theta)=\dfrac{Im(-5+5i)}{|-5+5i|}=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    On doit donc résoudre $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}$
    donc $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$ ($2\pi$)

    $-5+5i=5\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$
  2. $(\sqrt{3}-3i)^4$
  3. $i e^{-i\frac{\pi}{3}}$
    Il faut déterminer d'abord la forme exponentielle de $i$
    $|i|=1$ et $arg(i)=\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$)
    donc $i=e^{i\frac{\pi}{2}}$
    $i e^{i\frac{\pi}{3}}=e^{i\frac{\pi}{2}}e^{-i\frac{\pi}{3}}$
    $\phantom{i e^{i\frac{\pi}{3}}}=e^{i\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)}$
    $\phantom{i e^{i\frac{\pi}{3}}}=e^{i\frac{\pi}{6}}$

    $i e^{i\frac{\pi}{3}}=e^{i\frac{\pi}{6}}$
Exercice 3 (6 points)
  1. Résoudre $2z-1+3i=iz+2$ dans $\mathbb{C}$.
    Ecrire la solution sous forme algébrique.
    Il faut "isoler" $z$ en factorisant d'abord $z$
    $2z-1+3i=iz+2 \Longleftrightarrow 2z-iz=1-3i+2$
    $\phantom{2z-1+3i=iz+2} \Longleftrightarrow z(2-i)=3-3i$
    $\phantom{2z-1+3i=iz+2} \Longleftrightarrow z=\dfrac{3-3i}{2-i}$
    La solution est $z=\dfrac{3-3i}{2-i}$.
    Ecriture sous forme algébrique
    $z=\dfrac{3-3i}{2-i}=\dfrac{(3-3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}$
    $\phantom{z=\dfrac{3-3i}{2-i}}=\dfrac{6+3i-6i-3i^2}{2^2+1^2}$
    $\phantom{z=\dfrac{3-3i}{2-i}}=\dfrac{6-3i+3}{5}$
    $\phantom{z=\dfrac{3-3i}{2-i}}=\dfrac{9-3i}{5}$

    La solution est $z=\dfrac{9-3i}{5}$
  2. $2z^2-4z+5=0$
    Il faut calculer $\Delta=b^2-4ac$ et on a 2 racines complexes conjuguées.
    $\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times 2\times 5=16-40=-24$
    $\Delta< 0$ donc il y a deux racines complexes conjuguées.
    $z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{ 4+i\sqrt{24} }{ 4 }=\dfrac{ 4+i2\sqrt{6} }{ 4 }=\dfrac{2+i\sqrt{6} }{ 2 }$
    et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}=\dfrac{2-i\sqrt{6} }{ 2 }$

    Les solutions sont $z_1=\dfrac{2+i\sqrt{6} }{ 2 }$ et $z_2=\dfrac{2-i\sqrt{6} }{ 2 }$

    penser à contrôler avec la calculatrice
    CASIO: MENU EQUA puis POLY et degré 2 et saisir les coefficients $a$, $b$ et $c$.
    Penser à activer le MODE COMPLEXE avec la SETUP (SHIFT puis MENU)+
  3. Résoudre $z-2i\overline{z}=-4-i$ dans $\mathbb{C}$
    On peu poser $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels
    On pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels et on a $\overline{z}=x-iy$.
    $z-2i\overline{z}=-4-i \Longleftrightarrow x+iy-2i(x-iy)=-4-i$
    $\phantom{z-2i\overline{z}=-4-i} \Longleftrightarrow x+iy-2ix+2i^2y=-4-i$
    $\phantom{z-2i\overline{z}=-4-i} \Longleftrightarrow x+iy-2ix-2y=-4-i$
    $\phantom{z-2i\overline{z}=4-i} \Longleftrightarrow x-2y+i(y-2x)=4-i$
    $\phantom{z-2i\overline{z}=-4-i} \Longleftrightarrow \begin{cases}x-2y=-4\\ y-2x=-1 \end{cases}$
    $\phantom{z-2i\overline{z}=-4-i} \Longleftrightarrow \begin{cases}x-2(-1+2x)=-4\\ y=-1+2x \end{cases}$
    $\phantom{z-2i\overline{z}=-4-i} \Longleftrightarrow \begin{cases}-3x+2=-4\\ y=-1+2x \end{cases}$
    $\phantom{z-2i\overline{z}=-4-i} \Longleftrightarrow \begin{cases}x=2\\ y=3 \end{cases}$

    donc la solution est $z=2+3i$
Exercice 4(6 points)
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives $a=2+3i\sqrt{3}$, $b=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$, $ c=-4-3i\sqrt{3}$ et $d=-2+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$.
  1. Calculer $b-a$ et $c-d$ et en déduire que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
    $b-a$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et $c-d$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{DC}$
    $b-a=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i-(2+3i\sqrt{3})=-2-i\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}+3\sqrt{3}\right)=-2-i\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$
    $c-d=-4-3i\sqrt{3}-\left(-2+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\right)=-2-i\left(3\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=-2-i\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$
    $b-a$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et $c-d$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{DC}$
    et on a $b-a=c-d$ donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

    donc $ABCD$ est un parallélogramme.
  2. Démontrer que $\dfrac{d-b}{c-a}$ est un imaginaire pur.
    $arg\left(\dfrac{d-b}{c-a}\right)$ est une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD})$
    $\dfrac{d-b}{c-a}=\dfrac{-2+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i-\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\right)}{-4-3i\sqrt{3}-(2+3i\sqrt{3})}$

    $\phantom{\dfrac{d-b}{c-a}}=\dfrac{-2+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}i}{-6-6i\sqrt{3}}$

    $\phantom{\dfrac{d-b}{c-a}}=\dfrac{\left(-2+i\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)(-6+6i\sqrt{3})}{(-6-6i\sqrt{3})(-6+6i\sqrt{3})}$

    $\phantom{\dfrac{d-b}{c-a}}=\dfrac{12-12i\sqrt{3}-4i\sqrt{3}+12i^2}{(-6)^2+(6\sqrt{3})^2)}$

    $\phantom{\dfrac{d-b}{c-a}}=\dfrac{12-16i\sqrt{3}-12}{36+108}$

    $\phantom{\dfrac{d-b}{c-a}}=\dfrac{-16i\sqrt{3}}{144}$

    $\phantom{\dfrac{d-b}{c-a}}=\dfrac{-i\sqrt{3}}{9}$

    donc $\dfrac{d-b}{c-a}=\dfrac{-i\sqrt{3}}{9}$ est imaginaire pur.
  3. En déduire la nature du parallélogramme $ABCD$.
    $arg\left(\dfrac{d-b}{c-a}\right)$ est une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD})$
    L'argument de $\dfrac{-i\sqrt{3}}{9}$ est $\dfrac{-\pi}{2}$ ($2\pi$)
    et $arg\left(\dfrac{d-b}{c-a}\right)=arg(d-b)-arg(c-a)=(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD})$ ($2\pi$)
    donc $(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD})=-\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$)
    donc les diagonales du parallélogramme $ABCD$ sont perpendiculaires

    donc $ABCD$ est un losange.

    Figure:

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