Exercice corrigé 4-3-2:

Calculs de dérivées avec exponentielle (composition)

Contenu

- calculs de dérivées avec la racine carrée et l'exponentielle
- calcul de la dérivée de un

Infos sur l'exercice

  •  chap 4: Exponentielle
  • série 3: Dérivées

  •  niveau:
  • 5-10mn
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Dans chaque la fonction $f$ est définie sur $D$.
Justifier que $f$ est dérivable sur $D$ puis calculer $f'(x)$.
  1. $f(x)=(x^2-1)e^x$ avec $D=\mathbb{R}$
    on pose $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=e^x$ et on a $f(x)=u(x)v(x)$
    on pose $u(x)=x^2-1$ et $v(x)=e^x$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$
    donc le produit $f=u\times v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
    On a $u'(x)=2x$ et $v'(x)=e^x$
    $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)-e^x$
    $\phantom{f'(x)}=2xe^x+(x^2-1)e^x$
    $\phantom{f'(x)}=e^x(x^2+2x-1)$

    $f'(x)=e^x(x^2+2x-1)$

    Remarques
    - Si on doit étudier le signe de la dérivée, on a $e^x>0$ donc il est toujours utile de factoriser $e^x$ en vue de l'étude du signe de $f'(x)$.
    Ici $f'(x)$ est du signe de $x^2+2x-1$
    - Penser à contrôler le calcul de $f'(x)$ avec la calculatrice en saisissant dans le MENU TABLE Y1=$f(x)$ et Y2=$f'(x)$.
    Vérifier que l'option DERIVATIVE(shift MENU) est sur ON et comparer Y'1 et Y2
    Voir aussi fiche méthode chapitre 3 (continuité): contrôler une dérivée avec la calculatrice
  2. $f(x)=cos(e^x)$ avec $D=\mathbb{R}$
    on pose $u(x)=e^x$ et $v(x)=cos(x)$ et on a alors $f(x)=vou(x)$ (composée de $u$ et $v$).
  3. $f(x)=\sqrt{e^x+1}$ avec $D=\mathbb{R}$
    on pose $u(x)=e^x+1$ et on a $e^x+1 >0$
    on pose $u(x)=e^x+1$ et on a $f(x)=\sqrt{u(x)}$
    $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $u(x)>0$ car $e^x>0$
    donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
    $u'(x)=e^x$ donc on a:
    $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$
    $f'(x)=\dfrac{e^x}{2\sqrt{e^x+1}}$

    $f'(x)=\dfrac{e^x}{2\sqrt{e^x+1}}$
  4. $f(x)=(e^x-2)^4$ avec $D=\mathbb{R}$
    On pose $u(x)=e^x-2$ et on a alors $f(x)=(u(x))^4$
    On pose $u(x)=e^x-2$ et on a alors $f(x)=(u(x))^4$
    $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
    $u'(x)=e^x$ donc on a:
    $f'(x)=4u'(x)(u(x))^3=4\times e^x (e^x-2)^3$

    $f'(x)=4e^x(e^x-2)^3$


 
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