Exercice corrigé 3-6-3:

Variations d'une fonction polynôme de degré 3

Contenu

calcul de la dérivée d'une fonction polynôme de degré 3
Signe d'un polynôme degré 2
Tableau de variation d'une fonction polynôme de degré 3

Infos sur l'exercice

  •  chap 3: Dérivation
  • série 6: Etude des variations

  •  niveau:
  • 10-12mn

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La fonction $f$ est définie sur D$=[-10;10]$ par $f(x)=x^3-3x^2-9x+6$
  1. Calculer $f'(x)$
    $f$ est une fonction polynôme de degré 3 donc est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur D
    $f'(x)=3x^2-3\times 2x-9+0=3x^2-6x-9$

    $f'(x)=3x^2-6x-9$
  2. Etudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$.
    Déterminer les racines du polynôme de degré 2 correspondant à $f'(x)$
    Dresser le tableau de signe de $f'(x)$ et de variation de $f$
    $f'$ est une fonction polynôme de degré 2 du type $ax^2+bx+c$ avec $a=3$, $b=-6$ et $c=-9$

    Recherche des racines de $f'(x)$
    $\Delta=b^2-4ac=36-4\times 3\times (-9)=144=12^2$
    $\delta>0$ donc il y a deux racines:
    $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6-12}{6}=-1$
    et
    $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6+12}{6}=3$
    Le polynôme $f'(x)$ est du signe de $a=3$ coefficient de $x^2$ "à l'extérieur" des racines.

    Avec le menu TABLE de la calculatrice, on obtient:
    $f(-10)=-394$, $f(-1)=11$, $f(3)=-21$ et $f(10)=616$
    Avec ces valeurs:


    Penser à contrôler le tableau de variation obtenu avec la calculatrice, soit en dressant un tableau de valeurs de $f$ soit en traçant la courbe représentative de $f$

    Il ne faut pas confondre $f'(x)$ (dérivée) et $f(x)$ (fonction $f$) pour compléter le tableau de variations


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