Exercice corrigé 2-2-3:

Utilisation du tableau de variation pour déterminer le nombre de solutions d'une équation

Contenu

Lecture d'un tableau de variation: déterminer si on peut appliquer le théorème de la valeur intermédiaire sur un intervalle donné
Recherche du nombre de solutions d'une équation
Encedrement de la (des) solutions

Infos sur l'exercice

  •  chap 2: Convexité-continuité
  • série 2: Continuité-Th de la valeur intermédiaire

  •  niveau:
  • 10mn
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On donne ci-dessous le tableau de variation de $f$ définie sur $[-2;2]$:
  1. Peut-on appliquer le théorème de la valeur intermédiaire sur $D_f=[-2;2]$? sur $[-2;0]$? sur $[0;2]$?
    Le théorème de la valeur intermédiaire s'applique pour une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
    Sur $[-2;2]$, la fonction $f$ est continue mais n'est pas strictement monotone (c'est à dire toujours croissante ou bien toujours décroissante)

    donc on ne peut pas appliquer le théorème de la valeur intermédiaire sur l'intervalle $[-2;2]$


    Sur $[-2;0]$, la fonction $f$ est continue et est strictement croissante donc monotone sur $[-2;0]$

    donc on peut appliquer le théorème de la valeur intermédiaire sur l'intervalle $[-2;0]$


    Sur $[0;2]$, la fonction $f$ est continue et est strictement croissante donc monotone sur $[0;2]$

    donc on peut appliquer le théorème de la valeur intermédiaire sur l'intervalle $[0;2]$
  2. Montrer en séparant $D_f$ en deux intervalles que l'équation $f(x)=0,1$ admet une seule solution $\alpha$ sur $[-2;2]$
    Appliquer le théorème de la valeur intermédiaire sur $[-2;0]$
    Utiliser le minimum de $f$ sur l'intervalle $[0;2]$ pour déterminer le nombre de solution de $f(x)=0,1$ en utilisant le fait que le minimum de $f$ est alors strictement positif
    Sur l'intervalle $[-2;0]$:
    $f$ est continue et strictement croissante
    et on a $f(-2)=0$ et $f(0)=1$ donc $0,1$ est compris entre $f(-2)$ et $f(0)$
    donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $f(x)=0,1$ admet une solution unique $\alpha\in]-2;0[$

    L'équation $f(x)=0,1$ admet une seule solution sur $[-2;0]$.


    Sur l'intervalle $[0;2]$:
    $f$ est continue et strictement décroissante et le minimum de $f$ est $f(2)=0,5$
    donc $f(x) \geq f(2)$
    donc on a $f(x)\geq 0,5>0,1$ donc l'équation $f(x)=0,1$ n'a pas de solution sur $[0;2]$.
    L'équation $f(x)=0,1$ admet une seule solution que l'on peut noter $\alpha$ sur $[-2;0]$ et aucune solution sur $[0;2]$

    L'équation $f(x)=0,1$ admet une solution unique sur $[-2;2]$
  3. Donner un encadrement de $\alpha$ entre deux entiers consécutifs
    Déterminer deux réels $a$ et $b$ de $[-2;0]$ tels que $0,1$ soit compris entre $f(a)$ et $f(b)$
    D'après le tableau de variation, $f(-2)=0$ et $f(-1)=0,2$
    donc $0,1$ est compris entre $f(-2)$ et $f(-1)$
    donc $\alpha$ appartient à l'intervalle $[-2;-1]$

    donc $-2<\alpha<-1$



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