Exercice corrigé 7-4-4:

Calcul de la mesure d'un angle d'un triangle dans un repère orthonormé

Contenu

Coordonnées d'un vecteur et calculs de distances dans un repère orthonormé
Calcul du produit scalaire avec les coordonnées dans un repère orthonormé
Calcul de la mesure d'un angle dans un triangle

Infos sur l'exercice

  •  chap 7: Produit scalaire
  • série 4: Calcul d'angles et de longueurs

  •  niveau:
  • 10-15mn
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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on donne les points $A(2;1)$, $B(-2;4)$ et $C(1;-3)$.
  1. Faire une figure
    .
  2. Calculer les distances les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AB}$, $ \overrightarrow{AC}$ et les distances $AB$ et $AC$

    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-2-2=-4 \\ y_{ \overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=4-1=3 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{AB}(-4;3)$
    Remarque Vérifier sur la figure le résultat obtenu

    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=1-2=-1 \\ y_{ \overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=-3-1=-4 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{AC}(-1;-4)$

    $AB=\sqrt{x_{ \overrightarrow{AB}}^2+y_{ \overrightarrow{AB}}^2}=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$
    $AC=\sqrt{x_{ \overrightarrow{AC}}^2+y_{ \overrightarrow{AC}}^2}=\sqrt{(-1)^2+(-4)^2}=\sqrt{17}$

    $AB=5$ et $AC=\sqrt{17}$

  3. Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$

    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=x_{ \overrightarrow{AB}}x_{ \overrightarrow{AC}}+y_{ \overrightarrow{AB}}y_{ \overrightarrow{AC}}$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}=-4\times (-1)+3\times (-4) $
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}=-8 $

    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=-8 $
  4. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ arrondie au dixième de degré.
    Utiliser le rappel de cours ci-dessus et le résultat de la question 3 pour écrire une équation d'inconnue $\widehat{BAC}$
    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times cos (\widehat{BAC})= 5\sqrt{17}cos (\widehat{BAC})$
    On a donc $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}= 5\sqrt{17}cos (\widehat{BAC})=-8$
    $ 5\sqrt{17}cos (\widehat{BAC})=-8$
    $\Longleftrightarrow cos (\widehat{BAC})=\dfrac{-8}{5\sqrt{17}}$
    Avec la calculatrice (réglée en degrés SHIFT MENU), on a donc :
    $\widehat{BAC}=cos^{-1}\left( \dfrac{-8}{5\sqrt{17}}\right)\approx 112,8^o$

    $\widehat{BAC}\approx 112,8^o$


    Remarque
    On peut contrôler le résultat en utilisant MESURER UN ANGLE dans GEOGEBRA

    Remarque
    On peut aussi utiliser $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$ comme dans l'ex 7-4-2 mais c'est beaucoup plus long et cela ne présente que peu d'intérêt quand on peut utilier les oordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$


 
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