$(sin(x))'=cos(x)$
donc $\int_0^{\frac{\pi}{2}}=[sin(x)]_0^{\frac{\pi}{2}}=sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-sin(0)=1-0=1$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} cos(x)dx=1$
Remarque
Contrôler le résultat avec la calculatrice OPTION puis CALC et $\int$(cos(x),0,$\dfrac{\pi}{2}$)

Si on pose $f(x)=sin(2x)$ sur $D=[0;\pi]$ alors $f$ est continue sur $D$ donc $f$ admet des primitives sur $D$.
$F(x)=\dfrac{-cos(2x)}{2}$ est une primitive de $f$ sur $D$.
En effet $F'(x)=\dfrac{-(-2sin(2x))}{2}=sin(2x)=f(x)$
$F(0)=\dfrac{-cos(2\times 0)}{2}=\dfrac{-1}{2} $ (rappel $cos(0)=1$)
$F(\pi)=\dfrac{-cos(2\times \pi)}{2}=\dfrac{-cos(2\pi)}{2}=\dfrac{-1}{2} $ (rappel $cos(2\pi)=cos(0)=1$)
$\phantom{\int_0^{\pi} sin\left(2x\right)dx}=F(\pi)-F(0)=\dfrac{-1}{2}-\dfrac{-1}{2}=0$
$\int_0^{\pi} sin\left(2x\right)dx=0$

Si on pose $f(x)=cos\left(4x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ sur $D=[0;\pi]$ alors $f$ est continue sur $D$ donc $f$ admet des primitives sur $D$.
$F(x)=\dfrac{sin\left(4x+\dfrac{\pi}{2}\right)}{4}$ est une primitive de $f$ sur $D$.
En effet $F'(x)=\dfrac{4cos\left(4x+\dfrac{\pi}{2}\right)}{4}=cos\left(4x+\dfrac{\pi}{2}\right)=f(x)$
$F(0)=\dfrac{sin\left(4\times 0+\dfrac{\pi}{2}\right)}{4}=\dfrac{1}{4} $ (rappel $sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$)
$F(\pi)=\dfrac{sin\left(4\times \pi +\dfrac{\pi}{2}\right)}{4}=\dfrac{1}{4} $ (rappel $sin\left(x+4\pi\right)sin(x)$)
$\phantom{\int_0^{\pi} sin\left(4x\right)dx}=F(\pi)-F(0)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0$

$\int_0^{\pi} sin\left(4x+\dfrac{\pi}{2}\right)dx=0$

On pose $u(x)=cos(x)$ et on a $u'(x)=-sin(x)$
donc $\dfrac{sin(x)}{cos(x)}=-\dfrac{-sin(x)}{cos(x)}=-\dfrac{u'(x)}{u(x)}$
Sur $\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]$, on a $cos(x)\geq cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)>0$ donc $ln(u)$ est défini et on a $\left(ln(u)\right)'=\dfrac{u'}{u}$ donc:
$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{sin(x)}{cos(x)}dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}- \dfrac{u'(x)}{u(x)}dx$
$\phantom{\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{sin(x)}{cos(x)}dx}=[-ln(u(x)]_0^{\frac{\pi}{4}}$
$\phantom{\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{sin(x)}{cos(x)}dx}=-ln\left(cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)-(-ln(cos(0)))$
$\phantom{\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{sin(x)}{cos(x)}dx}=-ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)+ln(1)$
$\phantom{\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{sin(x)}{cos(x)}dx}=-(ln(\sqrt{2})-ln(2))$ car $ln(1)=0$ et $ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$ avec $a>0$ et $b>0$
$\phantom{\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{sin(x)}{cos(x)}dx}=-\dfrac{1}{2}ln(2)+ln(2)$ car $ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2}ln(a)$ avec $a>0$
$\phantom{\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{sin(x)}{cos(x)}dx}=\dfrac{1}{2}ln(2)$
$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{sin(x)}{cos(x)}dx=\dfrac{1}{2}ln(2)$
Remarque
Contrôle du résultat: