Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n}=\dfrac{1}{n+1}$
donc $u_{n+1}=\dfrac{1}{n+1+1}=\dfrac{1}{n+2}$
$u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{n+1}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{n+2}{(n+1)(n+2)}$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{n+1-n-2}{(n+1)(n+2)}$ (Attention au signe $-$ devant la barre de fraction)
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}$
$n\in \mathbb{N}$ donc $(n+1)(n+2)>0$
et $u_{n+1}-u_{n}$ est donc du signe du numérateur soit $u_{n+1}-u_n<0$
donc $u_{n+1} < u_n$
donc la suite $(u_n)$ est décroissante

$u_{10}\simeq 0,09$, $u_{20}\simeq 0,05$.....$u_{100}\simeq 0,01$
Il semble que $u_n\longrightarrow 0$ quand $n\longrightarrow +\infty$
$\displaystyle \lim_{ n \rightarrow +\infty }u_n=0$

$u_n\leq 10^{-P}$
$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{n+1}\leq 10^{-P}$
$\Longleftrightarrow 1\leq ( n+1)10^{-P}$ (car $n+1>0$)
$\Longleftrightarrow 1\leq n10^{-P}+10^{-P}$
$\Longleftrightarrow 1-10^{-P}\leq n10^{-P}$
$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{10^{-P}}-1\leq n$
$\Longleftrightarrow 10^{P}-1\leq n$
Donc en prenant $N=10^P-1$, on a $u_n\leq 10^{-P}$ pour tout $n\geq N$
Cela signifie que à partir du rang $N$, on a $u_n\leq 10^{-P}$
On peut donc rendre $u_n$ aussi petit que l'on veut (inférieur à $10^{-P}=\dfrac{1}{10^P}$) à partir d'un certain rang $N=10^P-1$
donc $\displaystyle \lim_{ n \rightarrow +\infty }u_n=0$