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$A$ et $B$ sont deux points du plan tels que $AB=6$cm.
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- Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$.
Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.Le cercle circonscrit à un triangle $ABC$ rectangle en $C$ a pour diamètre $[AB]$.$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0 \Longleftrightarrow M=A $ ou $M=B$ ou $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ sont orhogonaux
Si $M$ est distinct de $A$ et de $B$, $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ sont orthogonaux
donc le triangle $ABM$ est rectangle en $M$
donc $M$ appartient au cercle circonscrit au triangle $ABM$ de diamètre $[AB]$
- Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=7$.
Théorème de la médiane
Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan.
Pour tout point $M$ du plan, on a $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}$Soit $I$ le milieu de $[AB]$, on a alors:
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}= MI^2-\dfrac{AB^2}{4}$
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=7 \Longleftrightarrow MI^2-\dfrac{AB^2}{4}=7$
$\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=7}\Longleftrightarrow MI^2-\dfrac{36}{4}=7$
$\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=7}\Longleftrightarrow MI^2-9=7$
$\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=41}\Longleftrightarrow MI^2=16$
$\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=41}\Longleftrightarrow MI=\sqrt{16}=4$
- Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-15$.
Théorème de la médiane
Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan.
Pour tout point $M$ du plan, on a $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}$Soit $I$ le milieu de $[AB]$, on a alors:
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}= MI^2-\dfrac{AB^2}{4}$
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-15 \Longleftrightarrow MI^2-\dfrac{AB^2}{4}=-15$
$\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-15}\Longleftrightarrow MI^2-\dfrac{36}{4}=-15$
$\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-15}\Longleftrightarrow MI^2-9=-15$
$\phantom{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-15}\Longleftrightarrow MI^2=-6$
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